概周期函數

在數學中，概周期函數（或殆周期函數）是一類有近似於周期性質的函數，是連續週期函數的推廣。不同的周期函數由於周期不盡相同，其和、差或乘積不一定再是周期函數。概周期函數儘管未必有嚴格的周期性，但可擁有一些比周期函數更好的性質。這一概念首先於1925年被丹麥數學家哈那德·玻爾引進，後來赫曼·外爾、貝西科維奇等人也有研究和推廣。貝西科維奇因概周期函數方面的貢獻獲得了1931年劍橋大學的亞當斯獎。

定義

概週期函數有若干個等價定義。根據哈那德·玻爾引進的分析學上的定義，一個定義域在實數域上的連續函數$f$ 如果滿足：對任意正實數$\epsilon$，都存在實數$l(\epsilon )>0$，使得任意長度為$l(\epsilon )$ 的區間裡至少存在一個數$t$，使得對於任意的$x\in \mathbb {R}$，都有：

$\left|f(x+t)-f(x)\right|<\epsilon$

在高維歐幾里得空間$\mathbb {R} ^{n}$中，也可以定義類似的概周期向量函數。

按照定義，所有周期函數都是概周期函數。

值域在復平面上的概周期函數與三角多項式函數有密切關係。哈那德·玻爾首先注意到這類型的函數是在研究有限項狄利克雷級數的時候。當把黎曼ζ函數：ζ(s) 截出有限項後，得到的是一些形如

$e^{(\sigma +{\rm {{i}t)\log n}}}\,$

的項。其中的$\sigma +{\rm {{i}t=s}}$。如果只考慮復平面上的一條豎直的直線（也就是說固定s 的實數部份$\sigma$，而實數$t$ 在正負無窮大之間變動），那麼實際上每一項變成：

$t\mapsto n^{\sigma }e^{(\log n)it}\,$

如果只觀察有限個這樣的函數的和（以避免$\sigma <1$ 時的解析開拓的問題），那麼由於對不同的n，$e^{(\log n)it}$是線性獨立的，這個和不再是一個週期函數。

在相關研究中，哈那德·玻爾開始注意形如：

$t\mapsto \sum _{k=1}^{m}e^{i\lambda _{k}t}\,$

的三角多項式函數。它是若干個週期互不相同的週期函數$e^{i\lambda _{k}t}\,$的和。於是概週期函數的另一個定義出現了：如果對每個$\epsilon >0$，都存在三角多項式函數：$T_{\epsilon }(x)$，使得對於任意的$x\in \mathbb {R}$，都有：

$\left|f(x)-T_{\epsilon }(x)\right|<\epsilon$

可以證明，這個定義與第一個定義是等價的。

例子

考慮若干三角多項式函數：

$f_{n}:\,x\longmapsto \sum _{k=1}^{n}\exp(i\lambda _{k}x)$

其中$\lambda _{k}$ 是複數。每一個$f_{n}$ 都是周期函數，因此有限個$f_{n}$ 的和仍然是概周期函數。然而，對於某些和函數，比如說：

$f:\,x\longmapsto \exp(ix)+\exp(i\pi x)$

$f$不是周期函數，但仍然是概周期函數。

性質

• 如同周期函數一樣，任何概周期函數都是有界的, 且一致連續。
• 如果$f$ 是概周期函數，那麼對於任意實數$a$，$f(x+a)$、$f(ax)$、$af(x)$、$|f(x)|$ 也是概周期函數。
• 如果$f$ 和$g$ 都是概周期函數，那麼$f+g$、$f-g$ 和$f\cdot g$ 都是概周期函數。
• 如果$f(x)$ 是概周期函數，$H$是$f$ 的值域到$\mathbb {R}$上的一致連續函數, 則$H(f(x))$也是概周期函數。
• 如果概周期函數的序列$(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$在實軸上一致收斂於函數$f(x)$ ，則$f(x)$ 也是概周期函數。
• 如果$f(x)$ 是概周期函數, 則$f'(x)$ 為概周期函數的充分必要條件是$f(x)$ 的導函數$f'(x)$ 一致連續。
• 如果$f(x)$ 是概周期函數，$F(x)=\int _{a}^{x}f(t)dt$，則$F(x)$ 為概周期函數的充要條件為$F(x)$ 有界。

參看

• 偽概周期函數
• 准周期函數
• 非周期函數
• 傅里葉級數
• 計算機音樂

參考書籍

• A.S. Besicovitch, "On generalized almost periodic functions" Proc. London Math. Soc. (2) , 25 (1926) pp. 495-512
• Bochner, S., Beitrage zur Theorie der fastperiodischen Funktionen, Math. Annalen, 1926, 96: 119–147, doi:10.1007/BF01209156 
• H. Bohr, "Zur Theorie der fastperiodischen Funktionen I" Acta Math., 45 (1925) pp. 29–127
• H. Bohr, "Almost-periodic functions" , Chelsea, reprint (1947)
• Bredikhina, E.A., A/a011970, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Bredikhina, E.A., Besicovitch almost periodic functions, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Bredikhina, E.A., Bohr almost periodic functions, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Bredikhina, E.A., Stepanov almost periodic functions, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Bredikhina, E.A., Weyl almost periodic functions, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4