跳至內容

泊松代數

維基百科,自由的百科全書

數學中,泊松代數Poisson algebra)是具有一個滿足萊布尼茲法則李括號結合代數;即括號也是導子。泊松代數自然出現於哈密頓力學,也是量子群研究的中心。攜有一個泊松代數的流形也叫做泊松流形辛流形泊松-李群是其特列。此代數的名字以西莫恩·德尼·泊松命名。

定義

[編輯]

一個泊松代數是 K 上一個向量空間裝備着兩個雙線性乘積, 與 { , },滿足如下性質:

  • 泊松括號是結合乘積 導子,即對此代數中任何三個元素 xyz,都有 {x, yz} = {x, y}z + y{x, z}。

最後一個性質通常保證了這個代數有其他給出表述,可見下面例子中所指出。

例子

[編輯]

泊松代數出現於多種不同場合。

辛流形

[編輯]

辛流形上實值光滑函數組成一個泊松代數。辛流形上每個實值函數 在此流形上產生一個向量場 ,即哈密頓向量場。然後給定此辛流形上任何光滑函數 ,它們的泊松括號 {,} 定義為

這個定義是一致的是因為此泊松括號是一個導子。等價地,可以將 {,} 定義為

這裡 [,] 是李導數。當辛流形是帶着標準辛結構的 ,則泊松括號取如下熟知的形式

可對泊松流形進行類似的考慮,它允許辛雙向量在流形的某些位置消沒。

李代數

[編輯]

李代數張量代數具有泊松代數結構。泛包絡代數條目中給出了非常明確的構造。

構造過程中,首先要建立李代數底層向量空間的張量代數。張量代數,簡單來說就是向量空間所有張量積的不交並直積 ⊕))。這樣就可證明,李括號可被一致地提升到整個張量代數:其服從積律,又遵循泊松括號的雅可比同一性,因此提升後的李括號就是泊松括號。這樣,一對積{,}、⊗就構成了泊松代數。注意⊗不交換也不反交換,只服從結合律。

因此,可得這樣的一般結論:任何李代數的張量代數都是泊松代數。通過模得泊松代數結構,就得到了泛包絡代數。

結合代數

[編輯]

如果 A 是一個結合代數,則交換子 [x,y]≡xyyx 使它成為一個泊松代數。

頂點算子代數

[編輯]

對一個頂點算子代數 ,空間 是一個泊松代數,其中 。對某些定點算子代數,這個泊松代數是有限維的。

相關條目

[編輯]

參考文獻

[編輯]