火腿三明治定理

火腿三明治定理的圖解。

火腿三明治定理（英語：Ham sandwich theorm），也被稱為Stone-Tukey定理，它在測度論中有重要的意義。火腿三明治定理說明在n-維空間中有n個可測量的「物體」，可以用一個(n-1)-維的超平面把它們同時分成測度相等的兩部分。

命名

當 n=3 時，就像一個三明治一樣——這裡的三個「物體」則是兩片麵包和中間的火腿。用一個平面可以同時把三個「物體」截斷。

二維版本的證明：「旋轉刀片」

二維版本的證明比任意維度的證明較為簡單，流程如下：

對任何角度$\alpha \in [0,\pi ]$，均存在一條與 X 軸成角度$\alpha$的直線平分第一個物體。（需使用介值定理） 令$\alpha$由 0 增加到 $\pi$，再使用介值定理，則存在一條直線同時平分第二個物體。

定理的離散版本

離散版本可以視為定理的特例，當中每一個＂物體＂都是用有限個點組成的集合，並使用計數測度。但需要考慮點剛好落左超平面上時的情況。

參考文獻

• Beyer, W. A.; Zardecki, Andrew, The early history of the ham sandwich theorem, American Mathematical Monthly, 2004, 111 (1): 58–61, JSTOR 4145019, doi:10.2307/4145019 .
• Edelsbrunner, Herbert; Waupotitsch, R., Computing a ham sandwich cut in two dimensions, Journal of Symbolic Computation, 1986, 2: 171–178, doi:10.1016/S0747-7171(86)80020-7 .
• Lo, Chi-Yuan; Steiger, W. L., An optimal time algorithm for ham-sandwich cuts in the plane, Proceedings of the Second Canadian Conference on Computational Geometry: 5–9, 1990 .
• Lo, Chi-Yuan; Matoušek, Jiří; Steiger, William L., Algorithms for Ham-Sandwich Cuts, Discrete and Computational Geometry, 1994, 11: 433–452, doi:10.1007/BF02574017 .
• Megiddo, Nimrod, Partitioning with two lines in the plane, Journal of Algorithms, 1985, 6: 430–433, doi:10.1016/0196-6774(85)90011-2 .
• Smith, W. D.; Wormald, N. C., Geometric separator theorems and applications, Proceedings 39th Annual Symposium on Foundations of Computer Science (Cat. No.98CB36280): 232, 1998, ISBN 0-8186-9172-7, doi:10.1109/sfcs.1998.743449 
• Steinhaus, Hugo, A note on the ham sandwich theorem, Mathesis Polska, 1938, 9: 26–28 .
• Stone, Arthur H.; Tukey, John W., Generalized "sandwich" theorems, Duke Mathematical Journal, 1942, 9: 356–359 [2019-06-14], doi:10.1215/S0012-7094-42-00925-6, （原始內容存檔於2020-08-26） .
• Stojmenovíc, Ivan, Bisections and ham-sandwich cuts of convex polygons and polyhedra., Info. Processing Letts., 1991, 38 (1): 15–21 .