火腿三明治定理

火腿三明治定理的图解。

火腿三明治定理（英语：Ham sandwich theorm），也被称为Stone-Tukey定理，它在测度论中有重要的意义。火腿三明治定理说明在n-维空间中有n个可测量的“物体”，可以用一个(n-1)-维的超平面把它们同时分成测度相等的两部分。

命名

当 n=3 时，就像一个三明治一样——这里的三个“物体”则是两片面包和中间的火腿。用一个平面可以同时把三个“物体”截断。

二维版本的证明：“旋转刀片”

二维版本的证明比任意维度的证明较为简单，流程如下：

对任何角度$\alpha \in [0,\pi ]$，均存在一条与 X 轴成角度$\alpha$的直线平分第一个物体。（需使用介值定理） 令$\alpha$由 0 增加到 $\pi$，再使用介值定理，则存在一条直线同时平分第二个物体。

定理的离散版本

离散版本可以视为定理的特例，当中每一个＂物体＂都是用有限个点组成的集合，并使用计数测度。但需要考虑点刚好落左超平面上时的情况。

参考文献

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