火腿三明治定理

火腿三明治定理的圖解。

火腿三明治定理（英語：Ham sandwich theorem），也被稱為Stone-Tukey定理，它在測度論中有重要的意義。火腿三明治定理說明在n-維空間中有n個可測量的「物體」，可以用一個(n-1)-維的超平面把它們同時分成測度相等的兩部分。

命名

當 n=3 時，就像一個三明治一樣——這裏的三個「物體」則是兩片麵包和中間的火腿。用一個平面可以同時把三個「物體」截斷。

二維版本的證明：「旋轉刀片」

二維版本的證明比任意維度的證明較為簡單，流程如下：

對任何角度$\alpha \in [0,\pi ]$，均存在一條與 X 軸成角度$\alpha$的直線平分第一個物體。（需使用介值定理） 令$\alpha$由 0 增加到 $\pi$，再使用介值定理，則存在一條直線同時平分第二個物體。

定理的離散版本

離散版本可以視為定理的特例，當中每一個＂物體＂都是用有限個點組成的集合，並使用計數測度。但需要考慮點剛好落左超平面上時的情況。

參考文獻

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