伯努利雙紐線的外形如∞
環面曲線(toric section)是平面和環面相交形成的曲線,正如圓錐曲線是圓錐面和平面相交而成的。其方程為:
![{\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}+ax^{2}+by^{2}+cx+dy+e=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01694f18e1f331e3daf3a9a05f4796ca823fbd2a)
它們都是四次曲線。
伯努利雙紐線(Lemniscate of Bernoulli)的方程為
![{\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=2a^{2}(x^{2}-y^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/436eb95de4d7bf3e967aaba85a07b3fac3e7f396)
求雙紐線的弧長需要應用橢圓積分。雙紐線可視為雙曲線的反演變換,反演圓心在雙曲線的中心。
卡西尼卵形線
取兩個定點
為焦點。卡西尼卵形線(Cassini oval)是所有這樣的點P的軌跡:
和焦點的距離的積為常數(這類似橢圓的定義——點
和焦點的距離的和為常數)。即
。
在直角坐標系,若焦點分別在
和
,卵形線的方程可寫成:
![{\displaystyle ((x-a)^{2}+y^{2})((x+a)^{2}+y^{2})=b^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/655a13b8b98c4a557e4ac5712d1db13d89807e26)
![{\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2a^{2}(x^{2}-y^{2})+a^{4}=b^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8be5b9a276d601b92a19f6ee85ab54ae942bcf12)
![{\displaystyle (x^{2}+y^{2}+a^{2})^{2}-4a^{2}x^{2}=b^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8f7f509931f29eb10ea1c6e8aae80af8a257fac)
在極坐標系:
![{\displaystyle r^{4}-2a^{2}r^{2}\cos 2\theta =b^{4}-a^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fac07a5c80194bb0abbee8a9a30215493ac3d27c)
卵形線經過反演變換,依然是卵形線。
卵形線的形狀由
的值決定。若
,軌跡是一個封閉的圈。若
,軌跡是兩個封閉的圈。若
,軌跡為伯努利雙紐線。
Hippopedes: a=1, b=0.1, 0.2, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0
Hippopedes: b=1, a=0.1, 0.2, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0
Hippopede曲線(或Hippopede of Proclus)的極坐標方程為:
![{\displaystyle r^{2}=4b(a-b\sin ^{2}\theta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9c71fbf73ee20e8b72b5c85b6f78d9d03a1be3b)
直角坐標系:
![{\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}+4b(b-a)(x^{2}+y^{2})=4b^{2}x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2186f5168011549d7ab654589f6281c222b8f748)
當
,Hippopede曲線為伯努利雙紐線。