等價矩陣

在線性代數和矩陣論中，兩個矩陣之間的等價是一種矩陣之間的等價關係。假設有兩個$m\times n$ 的矩陣，記作A和B。它們之間等價當且僅當存在兩個可逆的方塊矩陣：$n\times n$ 的矩陣P以及$m\times m$ 的矩陣Q，使得

$\mathbf {A} =\mathbf {QBP}$

這時稱兩個矩陣A和B是等價矩陣。矩陣之間的等價和矩陣的相似關係有所不同。如果兩個矩陣A和B相似，那麼它們一定是等價矩陣，因為按照矩陣相似的定義，可以找到一個可逆矩陣P，使得

$\mathbf {A} =\mathbf {PB} \mathbf {P} ^{-1}$

由於其中的P^-1也是可逆的矩陣，所以A和B相似必然推出它們等價。但是，等價的矩陣不一定是相似的。首先相似的兩個矩陣必須是大小相同的兩個方塊矩陣，而等價矩陣則沒有這個要求。其次，即使兩個等價矩陣都是同樣大小的方陣，$\mathbf {A} =\mathbf {PBQ}$ 中用到的Q也不一定是P的逆矩陣。

性質

等價矩陣是矩陣集合${\mathcal {M}}_{m,n}(\mathbf {R} )$中的一種等價關係。

兩個矩陣等價當且僅當：

• 其中一者能夠經過若干次初等行或列變換變成另一者。
• 它們有相同的秩。

參見

• 相似矩陣
• 合同矩陣