維拉宿代數

維拉宿代數（Virasoro algebra）是單位圓上微分算子所組成的李代數的中心拓展，在複數域上的無限維李代數。這與仿射Kac-Moody代數關係密切（參看Sugawara構造）。Virasoro 代數的么正表示描繪兩維共形場論的對稱性。

定義

維拉宿代數是一李代數，生成元是

• ${L_{n}:n\in \mathbb {Z} }$,
• c ，
• 符合：$[L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+\delta _{m+n}{\frac {(m^{3}-m)}{12}}c$

推導

維拉宿代數可以被認為是以下Witt 代數 的 中心拓展:

$[l_{m},l_{n}]=(m-n)l_{m+n}$,

$[{\bar {l}}_{m},{\bar {l}}_{n}]=(m-n){\bar {l}}_{m+n}$,

$[l_{m},{\bar {l}}_{n}]=0$.

對於一李代數$\ {\bf {g}}$, 其在複數域$\ {\bf {C}}$的 central extension$\ {\tilde {g}}$ 滿足下列交換子:

$[{\tilde {x}},{\tilde {y}}]_{\tilde {g}}=[x,y]_{g}+cp(x,y),$

$[{\tilde {x}},c]_{\tilde {g}}=0,$

$[c,c]_{\tilde {g}}=0,$

其中$\ {\tilde {x}},{\tilde {y}}\in {\tilde {g}},x,y\in g,c\in {\bf {C}},p:{\tilde {g}}\times {\tilde {g}}\rightarrow {\bf {C}}$. 由此定義, 維拉宿代數的生成元滿足以下交換子

$[L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+cp(m,n)$.

$p(m,n)$可以由以下條件決定:

• 交換子必須是反對易的, 所以$p(m,n)=-p(n,m)$
• 可以觀察到, 如果定義以下生成元

${\hat {L}}_{n}=L_{n}+{\frac {cp(n,0)}{n}},n\neq 0$

${\hat {L}}_{0}=L_{0}+{\frac {cp(1,-1)}{2}},$

它們滿足

$[{\hat {L}}_{n},{\hat {L}}_{0}]=nL_{n}+cp(n,0)=n{\hat {L}}_{n},$

$[{\hat {L}}_{1},{\hat {L}}_{-1}]=2L_{0}+cp(1,-1)=2{\hat {L}}_{0}.$

比較函數$p(m,n)$的定義可以得知,$p(1,-1)$與$p(n,0)$總是可以被設為0.

• 交換子滿足雅可比恆等式,即

$\ 0=[[L_{m},L_{n}],L_{0}]+[[L_{n},L_{0}],L_{m}]+[[L_{0},L_{m}],L_{n}]$

	$\ =(m-n)cp(m+n,0)+ncp(n,m)-mcp(m,n)$
	$\ =(m+n)p(n,m)$

所以$p(n,m)=0$如果$n\neq -m$, 即唯一的非零 central extension為$p(n,-n)$且$|n|>=2$.

• 最後計算以下雅克比恆等式

$\ 0=[[L_{-n+1},L_{n}],L_{-1}]+[[L_{n},L_{-1}],L_{-n+1}]+[[L_{-1},L_{-n+1}],L_{n}]$

$\ =(-2n+1)cp(1,-1)+(n+1)cp(n-1,-n+1)+(n-1)cp(-n,n)$

可知$p(m,n)$滿足以下遞推公式

$\ p(n,-n)={\frac {n+1}{n-2}}p(n-1,-n+1)$

$\ ={\frac {n+1}{n-2}}{\frac {n}{n-3}}p(n-2,-n+2)$=...

$\ ={\frac {n+1}{n-2}}{\frac {n}{n-3}}...{\frac {4}{1}}p(2,-2)$

$\ ={n+1 \choose 3}{\frac {1}{2}}$

$\ ={\frac {1}{12}}(n+1)n(n-1),$

其中歸一化條件為$p(2,-2)={\frac {1}{2}}$.綜上所述, Witt algebra在複數域唯一非零的central extension, 即維拉宿代數的生成元滿足以下交換子

$[L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+c{\frac {1}{12}}(n+1)n(n-1)\delta _{m+n,0}$.

參考

• V.G. Kac: "Infinite dimensional Lie algebras", Cambridge University Press
• V.G. Kac / A.K. Raina : "Bombay Lectures on highest weight representations" , World Scientific, Singapore
• Di Francesco / Mathieu / Senechal : "Conformal field theory", Springer Verlag
• Wakimoto: "Infinite-dimensional Lie algebras" （日語書《無限次元環》的譯本）, American Mathematical Society
• Ralph Blumenhagen/ Erik Plauschinn : "Introduction to conformal field theory: with applications to string theory", Springer Lecture notes in physics 779, Page 15