維拉宿代數

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維拉宿代數(Virasoro algebra)是單位圓微分算子所組成的李代數中心拓展英語central extension,在複數域上的無限維李代數。這與仿射Kac-Moody代數英語Affine Lie algebra關係密切(參看Sugawara構造)。Virasoro 代數的么正表示描繪兩維共形場論對稱性

定義[編輯]

維拉宿代數是一李代數,生成元是

  • ,
  • c ,
  • 符合:

推導[編輯]

維拉宿代數可以被認為是以下Witt 代數英語Witt algebra中心拓展英語central extension:

,

,

.

對於一李代數, 其在複數域的 central extension 滿足下列交換子:

其中. 由此定義, 維拉宿代數的生成元滿足以下交換子

.

可以由以下條件決定:

  • 交換子必須是反對易的, 所以
  • 可以觀察到, 如果定義以下生成元

它們滿足

比較函數的定義可以得知,總是可以被設為0.

所以如果, 即唯一的非零 central extension為.

  • 最後計算以下雅克比恆等式

可知滿足以下遞推公式

=...

其中歸一化條件為.綜上所述, Witt algebra在複數域唯一非零的central extension, 即維拉宿代數的生成元滿足以下交換子

.

局部保角變換[編輯]

群表示論[編輯]

Verma模[編輯]

超對稱維拉宿代數[編輯]

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參考[編輯]

  • V.G. Kac: "Infinite dimensional Lie algebras", Cambridge University Press
  • V.G. Kac / A.K. Raina : "Bombay Lectures on highest weight representations" , World Scientific, Singapore
  • Di Francesco / Mathieu / Senechal : "Conformal field theory", Springer Verlag
  • Wakimoto: "Infinite-dimensional Lie algebras" (日語書《無限次元環》的譯本), American Mathematical Society
  • Ralph Blumenhagen/ Erik Plauschinn : "Introduction to conformal field theory: with applications to string theory", Springer Lecture notes in physics 779, Page 15