高斯引理

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數論中,高斯引理給出了一個整數另一個整數的二次剩餘的條件。儘管高斯引理沒有實際計算上的意義,但作為二次互反律的證明中的一環,高斯引理有着理論上的重要性。

高斯引理最早出現在高斯1808年發表的二次互反律的第三個證明[1],並在第五個證明中再次用到[2]

敘述[編輯]

p為奇質數a是一個與p互質的整數。考慮以下數組:以及它們對p最小非負剩餘。這些剩餘兩兩不等,因此我們共有個兩兩不等的介於1和p之間的整數:。設其中有n個數比p/2大,那麼高斯引理聲稱:

上式左邊是勒讓德符號,當其值為+1時,表示a是模p的二次剩餘;其值為-1時,表示a是模p的二次非剩餘。

用通俗的語言來說,就是:如果裡面比p/2大的有偶數個,那麼a是模p的二次剩餘,如果有奇數個,那麼a是模p的二次非剩餘。

例子[編輯]

p = 11,a = 7,則我們考慮的數組是。模11之後,就得到。其中比大的有三個:。3是奇數,因此由高斯引理得到結論:7是模11的二次非剩餘。

這個結論是正確的,因為模11的全部二次剩餘是,不包括7在內。

證明[編輯]

一個常見的簡單證明[3]用的是一個令人聯想到費馬小定理之最簡單證明的方法:考慮乘積

用兩種方式模p之後,一方面可以得到:

另一方面,我們將中每一個比大的數都減去p,這樣我們得到一個新數組,其中每個數都介於之間。取絕對值後,我們便得到個介於1和之間(含等於)的整數(這是因為不是整數,因此比小的整數必然小於等於)。

關鍵的一步,是證明這些數兩兩不等。

證明是用反證法:假設在這些數中有兩個數相等,那麼找出其對應的「原型」:,其中kl是兩個介於1和之間的整數。分別平方後,就有:

因此p整除兩者之差:

但這不可能,因為p不整除,並且由於kl是兩個介於1和之間的整數,它們的和與差的都介於之間,絕對值比p小,不可能被p整除。這導致了矛盾!

因此這個數都在1和之間,且兩兩不等。於是它們就是。這樣,

(因為我們知道)
(比大的減去p之後為負數,因此共有n個-1)

總結兩次不同算法的結果,可以得出:(因為p不整除)。然而由歐拉判別法可以得出

因此有

引理得證。

應用[編輯]

在很多的二次互反律的證明中都可以見到高斯引理的身影[4][5]。比如艾森斯坦曾用高斯引理證明了在p為奇質數時,有下式成立

並運用這個公式證明二次互反律(並且運用橢圓函數而不是三角函數來證明三次以及四次的互反律[6])。

克羅內克運用高斯引理證明了

翻轉pq後就可立即得到二次互反律。

與群論中遷移的關係[編輯]

GZ/pZ中全體非零的二次剩餘類組成的乘法,令H為此群的子群{+1, −1}。考慮如下的GH陪集代表:

在這些陪集上應用遷移,就可以得到遷移同態:a射到(-1)n,其中an為高斯引理中所定義的。高斯引理可以被看做一個清楚地將這個同態等同到二次剩餘特徵的計算。

參見[編輯]

注釋[編輯]

  1. ^ "Neuer Beweis eines arithmetischen Satzes"; pp 458-462 of Untersuchungen uber hohere Arithmetik
  2. ^ "Neue Beweise und Erweiterungen des Fundalmentalsatzes in der Lehre von den quadratischen Reste"; pp 496-501 of Untersuchungen uber hohere Arithmetik
  3. ^ 在一般的初等數論教材或相關著作中都可以看到這個證明,這裡引用的是高斯的Untersuchungen uber hohere Arithmetik,pp 458-462
  4. ^ Lemmermeyer, ch. 1
  5. ^ Lemmermeyer, p. 9 "like most of the simplest proofs [ of QR], [Gauss's] 3 and 5 rest on what we now call Gauss's Lemma
  6. ^ Lemmermeyer, ch. 8

參考來源[編輯]

  • Gauss, Carl Friedrich; Maser, H.(translator into German), Untersuchungen uber hohere Arithmetik(Disqusitiones Arithemeticae & other papers on number theory)(Second edition), New York: Chelsea, 1965, ISBN 0-8284-0191-8