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高斯求積

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高斯求積,又稱高斯數值積分,(英語:Gaussian quadrature),是以德國數學家卡爾·弗里德里希·高斯所命名的一種數值積分中的求積規則。

當我們要求解某個函數的積分 ,其數值解可以由近似,其中權重。高斯求積僅當函數可以由在區間上的多項式近似時才能獲得準確的近似解,且這種方法並不適用於函數具有奇異點的情況。於是乎,我們可以把函數寫作,其中是近似多項式,是已知的權重函數,這樣我們就有

常用的權重函數有

(高斯切比雪夫)

以及

(高斯埃米特)。

高斯勒讓得求積

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對於上述的最簡單的積分形式,即權重函數時,關聯多項式為勒讓得多項式,這種方法通常稱為高斯勒讓德求積,此時權重函數為下式,

的第個根。

對於求解低階積分,選擇的點的數目、位置和權重如下表所示。

點的數目, n 點的位置, xi 權重, wi
1 0 2
2 1
3 0 89
59
4
5 0 128225

變區間法則

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在使用高斯求積的時候必須要將積分區間變換到,可利用變數變換得:

對應的高斯求積近似式為

其他形式

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對於如下的通用積分式來說,

時,即為上述內容。我們還可以用別的積分規則,如下表所示。

區間 ω(x) 正交多項式
[−1, 1] 勒讓德多項式
(−1, 1) 雅可比多項式
(−1, 1) 切比雪夫多項式 (第一類)
[−1, 1] 切比雪夫多項式 (第二類)
[0, ∞) 拉蓋爾多項式
(−∞, ∞) 埃爾米特多項式