雅可比多项式

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数学中,雅可比多项式 (有时也被称为超几何多项式)是一类正交多项式。它的名称来自十九世纪普魯士数学家卡爾·雅可比

定义[编辑]

雅可比多项式是从超几何函数中获得的,这个多项式列实际上是有限的:

P_n^{(\alpha,\beta)}(z)=\frac{(\alpha+1)_n}{n!}
\,_2F_1\left(-n,1+\alpha+\beta+n;\alpha+1;\frac{1-z}{2}\right) ,

其中的(\alpha+1)_n阶乘幂符号(这里是指上升阶乘幂),(Abramowitz & Stegun p561)因此实际上的表达式是:


P_n^{(\alpha,\beta)} (z) =
\frac{\Gamma (\alpha+n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha+\beta+n+1)}
\sum_{m=0}^n {n\choose m}
\frac{\Gamma (\alpha + \beta + n + m + 1)}{\Gamma (\alpha + m + 1)} \left(\frac{z-1}{2}\right)^m ,

z等于1的时候,上式中的无穷级数只有第一项非零,这时得到:

P_n^{(\alpha, \beta)} (1) = {n+\alpha\choose n} .

这里对于每一个整数n\,


{z\choose n} = \frac{\Gamma(z+1)}{\Gamma(n+1)\Gamma(z-n+1)},

\Gamma(z)\,是通常定义的伽马函数,其中约定,当整数n为小于零的时候:


{z\choose n} = 0

这个多项式列满足正交性条件:


\int_{-1}^1 (1-x)^{\alpha} (1+x)^{\beta}
P_m^{(\alpha,\beta)} (x)P_n^{(\alpha,\beta)} (x) \; dx=
\frac{2^{\alpha+\beta+1}}{2n+\alpha+\beta+1}
\frac{\Gamma(n+\alpha+1)\Gamma(n+\beta+1)}{\Gamma(n+\alpha+\beta+1)n!} \delta_{nm}

其中\alpha>-1而且\beta>-1

这个多项式列还满足对称性的关系:

P_n^{(\alpha, \beta)} (-z) = (-1)^n P_n^{(\beta, \alpha)} (z);

因此在z等于-1的时候也可以直接算出多项式值:

P_n^{(\alpha, \beta)} (-1) = (-1)^n { n+\beta\choose n} .

对于实数 x,雅可比多项式也可以写成另一种形式:

P_n^{(\alpha,\beta)}(x)=
\sum_s
{n+\alpha\choose s}{n+\beta \choose n-s}
\left(\frac{x-1}{2}\right)^{n-s} \left(\frac{x+1}{2}\right)^{s}

其中 s \ge 0 \, 并且  n-s \ge 0 \,

有一个特殊的情形,是当以下四个量: nn+\alphan+\beta 以及 n+\alpha +\beta 都是非负的实数的时候,雅可比多项式可以写成如下形式:

P_n^{(\alpha,\beta)}(x)=  (n+\alpha)! (n+\beta)!
\sum_s
\left[s! (n+\alpha-s)!(\beta+s)!(n-s)!\right]^{-1}
\left(\frac{x-1}{2}\right)^{n-s} \left(\frac{x+1}{2}\right)^{s}.

其中s\,的求和是对所有使得求和项为非负实数的整数s\,求和。

在这种情形下,以上表达式使得维纳d-矩阵d^j_{m' m}(\phi)\;0\le \phi\le 4\pi)可以写成用雅可比多项式表达的形式[1]


d^j_{m'm}(\phi) =\left[
\frac{(j+m)!(j-m)!}{(j+m')!(j-m')!}\right]^{1/2}
\left(\sin\frac{\phi}{2}\right)^{m-m'}
\left(\cos\frac{\phi}{2}\right)^{m+m'}
P_{j-m}^{(m-m',m+m')}(\cos \phi).

导数[编辑]

身为多项式的一种,雅可比多项式也是无限连续可微(可导)的函数。雅可比多项式的第k次导函数为:


\frac{\mathrm d^k}{\mathrm d z^k}
P_n^{(\alpha,\beta)} (z) =
\frac{\Gamma (\alpha+\beta+n+1+k)}{2^k \Gamma (\alpha+\beta+n+1)}
P_{n-k}^{(\alpha+k, \beta+k)} (z) .

微分方程[编辑]

雅可比多项式P_n^{(\alpha,\beta)}是以下的二阶齐次线性常微分方程的解:


(1-x^2)y'' + ( \beta-\alpha - (\alpha + \beta + 2)x )y'+ n(n+\alpha+\beta+1) y = 0.\,

参见[编辑]

注释[编辑]

  1. ^ L. C. Biedenharn and J. D. Louck, Angular Momentum in Quantum Physics, Addison-Wesley, Reading, (1981)

参考来源[编辑]