預序關係

預序關係（簡稱預序，又稱先序，preorder）、在數學中，是一類接近於偏序關係的二元關係，但僅滿足自反性和傳遞性而不滿足反對稱性。偏序的大多數理論均可擴展到預序。

定義

考慮集合 P 及其上的二元關係 $\lesssim$。若 $\lesssim$ 具有自反性和傳遞性，則稱 $\lesssim$ 為預序。具體來說，對任意 P 的元素 a，b 和 c，下列性質成立：

a $\lesssim$ a (自反性)

若 a $\lesssim$ b 且 b $\lesssim$ c，則 a $\lesssim$ c (傳遞性)

帶預序的集合稱為預序集合。同時滿足反對稱性（若 a $\lesssim$ b 且 b $\lesssim$ a，則 a = b）的預序為偏序。

說明

作為特例，空集上的空關係為一預序。空集加上空關係構成一預序集。

導出偏序

將預序集的等價元素等同起來，可得到由該預序集所導出的偏序集。具體過程如下：定義預序集 X 上的等價關係 $\sim \,$，使得 a $\sim \,$ b 當且僅當 a $\lesssim$ b 且 b $\lesssim$ a。定義所得商集 $X/\mathrm {\sim }$（所有 $\sim \,$ 的等價類構成的集合）上的序關係 $\leq$ ，使得[x] $\leq$ [y] 當且僅當 x $\lesssim$ y。由 $\sim \,$ 的構造可知，$\leq$ 的定義與所選等價類的代表元素無關，故上述定義明確。易證該關係為一偏序。

舉例

• 拓撲學中，網收斂的定義使用預序比使用偏序可避免重要特徵的丟失。
• 可數全序的嵌入關係。
• 圖論中的圖子式關係（羅伯遜-西摩定理）
• 多種經濟學模型的偏好。

參見

• 二元關係
• 偏序關係
• 全序關係
• 等價關係
• 有向集合
• 預序範疇
• 良擬序——一種預序，其中無窮序列必有先後兩項遞增

參考文獻

• Schröder, Bernd S. W., Ordered Sets: An Introduction, Boston: Birkhäuser, 2002, ISBN 0-8176-4128-9