卷繞數
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平面上的閉曲線關於某個點的卷繞數(Winding number),是一個整數,它表示了曲線繞過該點的總次數。卷繞數與曲線的定向有關,如果曲線依順時針方向繞過某個點,則卷繞數是負數。
卷繞數在代數拓撲中是基本的概念,在向量分析、複分析、幾何拓撲、微分幾何和物理學中也扮演了重要的角色。
描述
[編輯]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/ac/Winding_Number_Animation_Small.gif)
假設在xy平面上有一條有向的閉曲線。我們可以把曲線想像為某個物體的運動軌跡,運動方向就是曲線的方向。曲線的卷繞數就是物體逆時針繞過原點的總次數。
計算繞過原點的總次數時,逆時針方向的運動算正數,順時針方向的運動算負數。例如,如果物體首先依逆時針方向繞過原點四次,然後再依順時針方向繞過原點一次,那麼曲線的卷繞數就是3。
利用這種方案,根本不繞過原點的曲線的卷繞數就是零,而順時針繞過原點的曲線的卷繞數就是負數。因此,曲線的卷繞數可以是任何整數。以下的圖中顯示了卷繞數為-2、-1、0、1、2和3的曲線:
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−2 | −1 | 0 | ||
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1 | 2 | 3 |
正式的定義
[編輯]x-y平面上的曲線可以用參數方程來定義:
如果我們把參數t視為時間,那麼這個方程就描述了物體在t = 0和t = 1期間在平面上的運動。只要函數x(t)和y(t)是連續的,運動的軌跡就是一條曲線。只要物體的位置於t = 0和t = 1時相同,這條曲線就是閉曲線。
我們可以用極坐標系來定義這種曲線的卷繞數。假設曲線不經過原點,我們可以把參數方程寫成極坐標的形式:
函數r(t)和θ(t)必須是連續的, r > 0。因為最初和最終的位置是相同的,所以θ(0)和θ(1)的差必須是2π的整數倍。這個整數就是卷繞數:
- 卷繞數
這個公式定義了xy平面上曲線關於原點的卷繞數。把坐標系平移,我們就可以把這個定義推廣到關於任何點p的卷繞數。
其它定義
[編輯]卷繞數在不同的數學領域中通常有不同的定義。以下的定義都與上面的定義等價。
微分幾何
[編輯]在微分幾何中,通常假設參數方程是可微的(或至少分段可微的)。在這種情況下,極坐標系θ與直角坐標系x和y有以下的關係:
- ,其中
根據微積分基本定理,θ的總變化等於dθ的積分。因此,我們可以把可微曲線的卷繞數表示為一個曲線積分:
- 卷繞數
複分析
[編輯]在複分析中,閉曲線C的卷繞數可以表示為複數坐標z = x + iy。特別地,如果我們記z = reiθ,那麼:
因此:
ln(r)的總變化是零,因此dz ⁄ z的積分等於i乘以θ的總變化。所以:
- 卷繞數
更加一般地,C關於任何複數a的卷繞數由以下的公式給出:
這是柯西積分公式的一個特例。卷繞數在複分析中扮演了一個十分重要的角色(例如在留數定理的表述中)。
迴轉數
[編輯]我們也可以考慮曲線關於它本身的卷繞數(又稱為迴轉數,turning number),也就是曲線的切向量旋轉的次數。在右面的圖中,曲線的迴轉數是4(或−4),那個小的迴路也計算在內。這隻對可微且光滑的曲線才有定義。參見:迴轉切線定理。
參見
[編輯]參考文獻
[編輯]- Krantz, S. G. "The Index or Winding Number of a Curve about a Point." §4.4.4 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, pp. 49-50, 1999.