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奇異值

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數學中,特別是泛函分析中,作用於希爾伯特空間XY之間的緊算子奇異值是自伴算子表示T伴隨)的非負特徵值的平方根。

奇異值是非負實數,一般按遞減順序排列()。最大的奇異值等於T算子範數(見極小-極大定理)。

2維實值錯切矩陣M奇異值分解可視化。首先,可見藍色的單位圓盤與2個標準基向量;然後,可見M的作用:將圓盤扭曲為橢圓。SVD將M分解為3個簡單變換:旋轉、沿旋轉軸的縮放Σ及第二次旋轉 U。Σ是對角矩陣(本例中是方陣),對角線上包含M的奇異值,代表橢圓半軸長度

作用於歐氏空間T的奇異值有簡單的幾何解釋:單位n球在T變換下的像是橢球,其半軸長度是T的奇異值(圖中提供了的例子)。

奇異值是正規矩陣A特徵值絕對值,由譜定理可得A的單位對角化:。因此有

研究的希爾伯特空間算子的大多數範數都是用奇異值定義的。例如,樊𰋀-k-範數是前k個奇異值的和,跡範數是所有奇異值的和,沙滕範數是奇異值的p次冪之和的p次根。注意每種範數都只定義在一類特殊的算子上,因此奇異值有助於算子的分類。

有限維情形,矩陣總可以分解為,其中酉矩陣是矩形對角矩陣,奇異值在對角線上。這就是奇異值分解

基本性質

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應用特徵值的最小-最大定理。這裏i維子空間。

矩陣轉置和共軛不會改變奇異值。

對任意酉矩陣

與特徵值的關係:

的關係:

.

滿秩,則奇異值的積是

滿秩,則奇異值的積是

A滿秩,則奇異值的積是

關於奇異值的不等式

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另見[1]

子矩陣的奇異值

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  1. B表示刪除了某一行或某一列的A。則
  2. B表示刪除了某一行和某一列的A。則
  3. B表示A子矩陣,則

A + B的奇異值

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AB的奇異值

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[2]

奇異值與特徵值

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.

  1. [3]
  2. 假設,則對
    1. 外爾定理

歷史

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奇異值這一概念由埃哈德·施密特(1907)提出,當時稱奇異值為「特徵值」。「奇異值」的名稱由史密斯於1937年首次使用。1957年,Allahverdiev證明了第n個奇異值的如下特徵:[4]

這種表述使奇異值概念可以推廣到巴拿赫空間的算子。 注意還有更一般的s-數(s-number)概念,也包括蓋爾范德和柯爾莫哥洛夫寬。

另見

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參考文獻

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  1. ^ R. A. Horn and C. R. Johnson. Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press, Cambridge, 1991. Chap. 3
  2. ^ X. Zhan. Matrix Inequalities. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 2002. p.28
  3. ^ R. Bhatia. Matrix Analysis. Springer-Verlag, New York, 1997. Prop. III.5.1
  4. ^ I. C. Gohberg and M. G. Krein. Introduction to the Theory of Linear Non-selfadjoint Operators. American Mathematical Society, Providence, R.I.,1969. Translated from the Russian by A. Feinstein. Translations of Mathematical Monographs, Vol. 18.