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德布羅意方程組

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德布羅意方程組是描述物質波方程組,其描述了波長 動量 頻率 總能 之間的關係。
路易·德布羅意受光的波粒二象性啟發,認為微觀粒子也有波粒二象性。描述波的物理量為頻率、波長;而描述粒子的物理量為能量、動量,德布羅意方程便將這兩組物理量聯繫在一起。

德布羅意方程組 (The de Broglie Relations)

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德布羅意方程組:


其中
約化普朗克常數
波數
角頻率
於是可以得到另一種表示方式:


方程推導

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本段落描述的推導是諸多合法的推導的其中一種,它以質能方程普朗克關係式為基礎,進行替換和變形得到結果。
首先,引入愛因斯坦的質能方程: 然後,引入普朗克關係式

德布羅意認為粒子與波具有相同的特性(即在物質世界的量化描述中二者可以被視作是同一的),所以他假設二者的效能是等同的:

由於實際粒子並非以真空光速游動,所以德布羅意用 v 代替 c (光速),得到

代入 ,得到:

這便是為波長與粒子速度的關係式。

於是有:

因此得出:

低速近似

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上述推導是普適的(理論上的),然而在微觀低速的情況下,人們難以直接得到微粒的動量,因此也難得微粒的德布羅意波長λ。
幸運的是,我們可知在低速條件下有E=p2/2m,
所以此時德布羅意波長可以由動能和微粒質量表示出
λ==

參考資料

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