德布羅意方程組
外觀
德布羅意方程組是描述物質波的方程組,其描述了波長 與動量 、頻率 與總能 之間的關係。
路易·德布羅意受光的波粒二象性啟發,認為微觀粒子也有波粒二象性。描述波的物理量為頻率、波長;而描述粒子的物理量為能量、動量,德布羅意方程便將這兩組物理量聯繫在一起。
德布羅意方程組 (The de Broglie Relations)
[編輯]德布羅意方程組:
其中
為約化普朗克常數
為波數
為角頻率
於是可以得到另一種表示方式:
方程推導
[編輯]本段落描述的推導是諸多合法的推導的其中一種,它以質能方程和普朗克關係式為基礎,進行替換和變形得到結果。
首先,引入愛因斯坦的質能方程:
然後,引入普朗克關係式:
德布羅意認為粒子與波具有相同的特性(即在物質世界的量化描述中二者可以被視作是同一的),所以他假設二者的效能是等同的:
由於實際粒子並非以真空光速游動,所以德布羅意用 v 代替 c (光速),得到
代入 ,得到:
這便是為波長與粒子速度的關係式。
於是有:
因此得出:
低速近似
[編輯]上述推導是普適的(理論上的),然而在微觀低速的情況下,人們難以直接得到微粒的動量,因此也難得微粒的德布羅意波長λ。
幸運的是,我們可知在低速條件下有E=p2/2m,
所以此時德布羅意波長可以由動能和微粒質量表示出
λ==