若爾當曲線定理

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若爾當曲線定理的說明。若爾當曲線(黑色)把平面分成一個「內部」區域(淺藍色)和一個「外部」區域(粉紅色)。

拓撲學中,若爾當曲線是平面上的非自交環路(又稱為簡單閉曲線)。若爾當曲線定理說明每一條若爾當曲線都把平面分成一個「內部」區域和一個「外部」區域,且任何從一個區域到另一個區域的道路都必然在某處與環路相交。它由奧斯瓦爾德·維布倫在1905年證明。

定理和證明[編輯]

準確的數學表述如下:

c為平面R2上的一條若爾當曲線。那麼c補集由兩個不同的連通分支組成。其中一個分支是有界的(內部),另外一個是無界的(外部)。c的像就是任何一個分支的邊界。

若爾當曲線定理表面上是明顯的,但要證明它十分困難。對於較簡單的閉曲線,例如多邊形,是比較容易證明的,但要把它推廣到所有種類的曲線,包括無處可微的曲線如科赫曲線,便十分困難。該定理對於球面上的若爾當曲線也成立,但對於環面上的若爾當曲線不成立。

第一個發現該定理的是伯納德·波爾查諾,他觀察到這不是一個自明的定理,而需要證明。第一個給出證明的是卡米爾·若爾當,該定理就是以它命名的(後來發現他的證明仍有漏洞)。過了超過半個世紀,奧斯瓦爾德·維布倫最終在1905年給出了一個滿意和嚴格的證明。後來又發現了一些其它的證明,有些較為簡單(但相對來說仍然複雜)。

推廣[編輯]

若爾當曲線定理可以推廣到更高的維數:

X為從球面SnRn+1的一個連續的單射。那麼X的像的補集由兩個不同的連通分支組成。其中一個分支是有界的(內部),另外一個是無界的(外部)。X的像是它們的公共邊界。

若爾當曲線定理還有另外一種推廣,它說明平面上的任何若爾當曲線,視為從圓S1到平面R2的映射,都可以延伸到平面的一個同胚。這個表述比若爾當曲線定理更強。這個推廣在更高的維數不成立,亞歷山大角球就是一個著名的反例。亞歷山大角球的補集的無界分支不是單連通的,因此亞歷山大角球的映射不能延伸到整個R3

若爾當曲線定理的另外一個推廣說明,如果MRn+1的任何緊緻、連通、無界的n維子流形,那麼M便把Rn+1分成兩個區域:一個是緊的,另外一個不是緊的。

參考文獻[編輯]

  • Oswald Veblen, Theory on plane curves in non-metrical analysis situs, Transactions of the American Mathematical Society 6 (1905), pp. 83–98.
  • Ryuji Maehara, The Jordan curve theorem via the Brouwer fixed point theorem, American Mathematical Monthly 91 (1984), no. 10, pp. 641–643.

外部連結[編輯]