質元素
外觀
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在數學裏,尤其是在抽象代數裏,交換環的質元素(prime element)是指滿足類似整數裏的質數或不可約多項式之性質的一個數學物件。須注意的是,質元素與不可約元素之間並不相同,雖然在唯一分解整環裏是一樣的,但在一般情況下則不一定相同。
定義
[編輯]交換環 R 的元素 p 被稱為質元素,若該元素不為 0 或可逆元素,且若 p 整除 ab(a 與 b 為 R 內的元素),則 p 整除 a 或 p 整除 b。等價地說,一元素 p 為質元素,當且僅當由 p 產生的主理想 (p) 為非零質理想[1]。
對質元素的興趣來自於算術基本定理。該定理斷言,每個非零整數都可以以唯一一種方式寫成 1 或 -1 乘上一串正質數之乘積。這導致了對唯一分解整環的研究,推廣了僅在整數內被描述之概念。
一個元素是否為質元素,取決於該元素處於哪個環內;例如,2在 Z 裏是個質元素,但在高斯整數環 Z[i] 裏則不是,因為 2 = (1 + i)(1 - i) 且 2 無法整除等式右邊的任一因子。
與質理想間的關連
[編輯]環 R 內的一個理想 I 為質理想,若商環 R/I 為一整環。
不可約元素
[編輯]不可將質元素與不可約元素搞混。在一整環裏,每個質元素都是不可約元素[2],但反之不一定成立。不過,在唯一分解整環[3](或更一般地,在GCD環)裏,質元素與不可約元素會是相同的元素。
舉例來說,在二次整數環中,可以用範數證明 3 是不可約元素。不過,3 不是質元素,因為
但 無法整除 ,也無法整除 。[4]
例子
[編輯]下面為環裏的質元素之例子:
- 在整數環 Z 裏的整數 ±2, ±3, ±5, ±7, ±11, ...
- 在高斯整數環 Z[i] 裏的複數 (1+i)、19 與 (2+3i)
- 在 Z 上之多項式環 Z[x] 裏的多項式 x2 − 2 與 x2 + 1
參考資料
[編輯]- 註記
- ^ Hungerford 1980,Theorem III.3.4(i) 如書中所證明的,這兩個陳述等價。
- ^ Hungerford 1980,Theorem III.3.4(iii)
- ^ Hungerford 1980,Remark after Definition III.3.5
- ^ William W. Adams and Larry Joel Goldstein. Introduction to Number Theory. Prentice-Hall, Inc. 1976: 250. ISBN 0-13-491282-9.
- 參考書籍
- Section III.3 of Hungerford, Thomas W., Algebra, Graduate Texts in Mathematics 73 Reprint of 1974, New York: Springer-Verlag, 1980, ISBN 978-0-387-90518-1, MR 0600654
- Jacobson, Nathan, Basic algebra. II 2, New York: W. H. Freeman and Company: xviii+686, 1989, ISBN 0-7167-1933-9, MR 1009787
- Kaplansky, Irving, Commutative rings, Boston, Mass.: Allyn and Bacon Inc.: x+180, 1970, MR 0254021