雅各布森根

在抽象代數之分支環理論中，一個環 R 的雅各布森根（Jacobson radical）是 R 的一個理想，包含在某種意義上「與零接近」的那些元素。

定義

雅各布森根記做 J(R) 可用如下等價的方式定義：

• 所有極大左理想之交。
• 所有極大右理想之交。
• 所有單左 R-模的零化子之交。
• 所有單右 R-模的零化子之交。
• 所有左本原理想（primitive ideal）之交。
• 所有右本原理想之交。
• { x ∈ R : 對任何 r ∈ R 存在 u ∈ R 使得 u (1-rx) = 1 }
• { x ∈ R : 對任何 r ∈ R 存在 u ∈ R 使得 (1-xr) u = 1 }
• 如果 R 可交換，R 的所有極大理想之交。
• 最大理想 I 使得對所有 x ∈ I， 1-x 在 R 中可逆。

注意，最後一個性質不意味着 R 中使 1-x 可逆的任何元素 x 都是 J(R) 的一個元素。

另外，如果 R 不可交換，則 J(R) 不必等於 R 中所有雙邊極大理想之交。

雅各布森根也能對沒有恆同元素（或說單位）的環定義。參見 I. N. Herstein 所著《Noncommutative Rings》。

雅各布森根以內森·雅各布森（Nathan Jacobson）命名，他最先研究了雅各布森根。

例子

• 任何域的雅各布森根是 {0}。整數的雅各布森根是 {0}。
• 環 Z/8Z （參見模算術）的雅各布森根是 2Z/8Z。
• 如果 K 是一個域，R 是所有元素位於 K 中的上三角 n×n 矩陣環，則 J(R) 由主對角線為零的所有上三角矩陣組成。
• 如果 K 是域，R = K[[X₁,...,X_n]] 是形式冪級數環，則 J(R) 由常數項為零的所有冪級數組成。更一般地，任何局部環的雅各布森根由這個環的非單位環組成。
• 由一個有限箭圖（quiver）Γ 與一個域 K 開始，考慮箭圖代數 KΓ （在箭圖一文有具體說明）。這個環的雅各布森根由 Γ 中所有長度 ≥ 1 的道路生成。
• 一個C*-代數的雅各布森根是 {0}。這得自蓋爾范德-奈馬克定理（Gelfand–Naimark theorem）以及關於 C*-代數的事實，一個希爾伯特空間上的拓撲不可約 *-表示是代數不可約的，從而其核在純代數意義上是一個本原理想（參見C*-代數的譜）。

性質

• 除非 R 是平凡環 {0}，雅各布森根總是 R 中不等於 R 的理想。
• 如果 R 可交換有限生成 Z-模，則 J(R) 等於 R 的詣零根（nilradical）。
• 環 R/J(R) 的雅各布森根等於零。具有零雅各布森根的環稱為半本原環（semiprimitive ring）。
• 如果 f : R → S 是一個滿環同態，則 f(J(R)) ⊆ J(S)。
• 如果 M 是一個有限生成左 R-模滿足 J(R)M = M，則 M = 0（中山引理）。
• J(R) 包含 R 的每個詣零理想（nil ideal）。如果 R 是左或右阿廷環，則 J(R) 是一個冪零理想（nilpotent ideal）。注意，但是一般雅各布森根不必由環中冪零元素組成。
• R 是半單環若且唯若它是阿廷環且其雅各布森根為零。

另見

• 模的根（Radical of a module）
• 理想的根

參考文獻

• M. F. Atiyah, I. G. Macdonald. Introduction to Commutative Algebra.
• N. Bourbaki. Éléments de Mathématique.
• I. N. Herstein, Noncommutative Rings.
• R. S. Pierce. Associative Algebras. Graduate Texts in Mathematics vol 88.
• T. Y. Lam. A First Course in Non-commutative Rings. Graduate Texts in Mathematics vol 131.

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