討論:微分形式

有關微分形式的計算（使用抽象指標符號）

Wald,Robert M.的書General Relativity 附錄B Differential Forms,Integration,and Frobiniu's Theorem 討論了將Stokes' Theorem 應用於n維(贗)黎曼流形M的嵌入子流形D的情況，

Wald首先給出了公式(B.2.24)：

${\epsilon }_{ba_{1}a_{2}...a_{n-1}}=n_{b}\wedge {\tilde {\epsilon }}_{a_{1}a_{2}...a_{n-1}}(=-n_{a_{1}}\wedge {\tilde {\epsilon }}_{ba_{2}...a_{n-1}})$

進而給出了公式(B.2.25)：

$v^{b}{\epsilon }_{ba_{1}a_{2}...a_{n-1}}=(v^{b}n_{b}){\tilde {\epsilon }}_{a_{1}a_{2}...a_{n-1}}$

其中：

$v^{a}$是流形M上任意切矢量场(tangent vector field)；
$n_{a}$是嵌入子流形D的(n-1维)边界$\partial D$(超曲面)的(归一化)法向量 $g^{ab}n_{a}n_{b}=\epsilon =\pm 1$；
${\epsilon }_{ba_{1}a_{2}...a_{n-1}}$是黎曼流形M的适配体元；
${\tilde {\epsilon }}_{a_{1}a_{2}...a_{n-1}}$是$\partial D$的适配体元(边界$\partial D$有诱导度规$h_{ab}=g_{ab}-\epsilon n_{a}n_{b}$)；

請問：如何從(B.2.24)推出(B.2.25)？ Aphysicsstudent（留言） 2022年4月25日 (一) 14:33 (UTC)