不定式 (數學)

在微積分和數學分析的其他分支中，不定式（英語：Indeterminate form），又稱未定式，是指這樣一類極限，其在按極限的運算規則進行代入後，還未能得到足夠資訊去確定極限值。

這個術語最初由柯西的學生穆瓦尼奧在19世紀中葉提出。常見的不定式有：${\frac {0}{0}},~{\frac {\infty }{\infty }},~0\times \infty ,~1^{\infty },~\infty -\infty ,~0^{0}{\text{ 和 }}~\infty ^{0}$。 處理計算未定式的值常見的方法為使用洛必達法則。

例子

0除以0

${\frac {0}{0}}$ 是不定式，通常被認為沒有定義。

0的0次方

$0^{0}$也是不定式。在不同軟件中，有不同的處理規則，有些定義為1或0，有些視為「沒有定義」。

在數學上，當$x$趨向$0^{+}$，$x^{x}$的極限是1。

$\lim _{x\to 0^{+}}0^{x}=0\qquad$

$\lim _{x\to 0^{+}}x^{0}=1\qquad$

$\lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=1\qquad$

在冪級數和微積分中，有時候必須定義$0^{0}=1$，等式才會成立。

在二項式定理中，當$x=0$，右式會出現$0^{0}$。

$(1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}$

微分學的冪法則，在$n=1$及$x=0$的情況下，也會出現$0^{0}$。

${\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}$

物理

在物理學上這是有一定的解釋。比如說電阻定義 (歐姆定律)$R={\frac {U}{I}}$，當電壓和電流都為 $0$ 時 $R$ 的值存在不確定性。

例如，極限

$\lim _{x\to c}{f(x) \over g(x)}$ 當$f(c)=g(c)=0\,$。若 $f(x)\,$ 等於 $g(x)\,$，極限為1；若 $f(x)\,$ 等於 $g(x)\,$ 的兩倍，則極限為2。

更一般地，${\frac {0}{0}}$ 的極限可以通過洛必達法則求得。

不定式列表

下表中列出了最常見的不定式，可以通過轉換來使得它們滿足洛必達法則的條件。

不定式	條件	轉換到0/0	轉換到∞/∞
$0/0$	$\lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!$	—	$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!$
$\infty /\infty$	$\lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$	$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!$	—
$0\cdot \infty$	$\lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$	$\lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{1/g(x)}}\!$	$\lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/f(x)}}\!$
$\infty -\infty$	$\lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$	$\lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)-1/f(x)}{1/(f(x)g(x))}}\!$	$\lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\ln \lim _{x\to c}{\frac {e^{f(x)}}{e^{g(x)}}}\!$
$0^{0}$	$\lim _{x\to c}f(x)=0^{+},\lim _{x\to c}g(x)=0\!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!$
$1^{\infty }$	$\lim _{x\to c}f(x)=1,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!$
$\infty ^{0}$	$\lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!$