動力系統理論中,劉維爾–阿諾德定理指出,若在具有n自由度的哈密頓力學系統中,存在n個泊松交換的獨立第一運動積分,且能級集是緊的,則就存在到作用量-角度坐標的正則變換,變換後的哈密頓量只依賴於作用量坐標,角度坐標隨時間線性變化。因此,若能分離級同時集(level simultaneous set)條件,系統的運動方程便可通過化方求解。定理得名於約瑟夫·劉維爾和弗拉基米爾·阿諾德。[1][2][3][4][5](pp. 270–272)
定理的原始形式是劉維爾於1853年針對
上具有規範辛結構的函數證明的。阿諾德在1974年出版的教科書《經典力學的數學方法》中給出了到辛流形的推廣。
初步定義[編輯]
令
是
維辛流形,具有辛結構
。
上的可積系統是
上的n個函數組成的集合,記作
,滿足
- (一般)線性獨立:稠密集上
![{\displaystyle dF_{1}\wedge \cdots \wedge dF_{n}\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a08931a7246db8beb50a2501f87bdbc69ecaef8)
- 相互泊松交換:泊松括號
對任意一對
都為0
泊松括號是每個
對應的哈密頓向量場的李氏括號。簡單說,若
是對應於光滑函數
的哈密頓向量場,則對兩光滑函數
,泊松括號是
。
若
,則稱點p是正則點(regular point)。
可積系統定義了函數
。
表示函數
的水平集
或記作
。
若給
附加一個區分函數H的結構,則當H可以補全(completed)為可積系統時(即存在可積系統
),哈密頓系統
是可積的。
若
是可積哈密頓系統、p是正則點,則定理描述了正則點的像
的水平集
:
是光滑流形,在由
引發的哈密頓流作用下不變(因此在可積系統的任何元素引發的哈密頓流下也不變)。
- 若
更緊且連通,則就微分同胚於N-環面
。
上存在(局部)坐標
,使得
在水平集上為常,而
。這些坐標稱作作用量-角度坐標。
劉維爾可積系統例子[編輯]
可積的哈密頓系統可稱作「劉維爾意義上可積」或「劉維爾可積」。比較知名的例子如下。
一些記號是文獻中的標準符號。考慮的辛流形是
時,其坐標通常寫作
,規範辛形式是
。除非另有說明,否則本節將假設這些參數。
- 哈密頓諧振子:
,其中
。定義
,可積系統是
。
- 連心力系統
,其中
,U是某勢函數。定義角動量
,可積系統是
。
參考文獻[編輯]