婆羅摩笈多公式

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歐氏平面幾何中,婆羅摩笈多公式是用以計算圓內接四邊形面積的公式,一般四邊形的面積公式請見布雷特施奈德公式

基本形式[編輯]

婆羅摩笈多公式的最簡單易記的形式,是圓內接四邊形面積計算。若圓內接四邊形的四邊長為a, b, c, d,則其面積為:

其中p半周長

證明[編輯]

Brahmaguptas formula.svg

圓內接四邊形的面積 = 的面積 + 的面積

但由於是圓內接四邊形,因此。故。所以:

利用餘弦定理,我們有:

代入(這是由於互補角),並整理,得:

把這個等式代入面積的公式中,得:

它是的形式,因此可以寫成的形式:

引入

兩邊開平方,得:

證畢。

更特殊情況[編輯]

若圓O的圓內接四邊形的四邊長為a, b, c, d,且外切於圓C,則其面積為:

證明[編輯]

由於四邊形內接於圓O,所以:

其中p為半周長:

又因為四邊形外切圓C,所以:

則:

同理:

綜上:

證畢。

一般情況[編輯]

對一般四邊形的面積,擴展的婆羅摩笈多公式(布雷特施奈德公式)用到了四邊形的對角和:

其中是四邊形一對角和的一半。(選取另一對角也不會影響答案,因其和的一半是。而,所以。)

因為圓內接四邊形的對角和為,而,所以項為零,給出公式的基本形式。

另一個由柯立芝所證明的公式如下[1]

其中 pq 為四邊形對角線之長。在圓內接四邊形中,根據托勒密定理我們有,此公式退回為基本形式。

相關定理[編輯]

海倫公式給出三角形的面積。它是婆羅摩笈多公式取的特殊情形。

婆羅摩笈多公式的基本形式和擴充形式,就像由勾股定理擴充至餘弦定理一般。

  1. ^ J. L. Coolidge, "A Historically Interesting Formula for the Area of a Quadrilateral", American Mathematical Monthly, 46 (1939) pp. 345-347.