抽象代數邏輯

抽象代數邏輯(AAL)是研究代數類關聯於邏輯系統的方式和這些代數類如何與邏輯系統交互的數理邏輯領域。

概述

代數邏輯起源的原型和後續發展的核心基礎是在布爾代數類和經典命題演算之間的關聯。這種關聯是喬治·布爾在1850年代發現的，並被其他人特別是 Ernst Schröder 在1890年代所精緻。這項工作在阿爾弗雷德·塔斯基和他的學生 Adolf Lindenbaum 在1930年代提出的 Lindenbaum-Tarski代數中達到頂點。

經典代數邏輯包括所有代數邏輯的工作直到大約1960年研究用來「代數化」對特定邏輯研究有價值的指定邏輯系統的指定代數類的性質。一般的說，與邏輯系統的關聯的代數都是某種類型的格，除了格補運算之外可能增補了一個或多個一元運算。

抽象代數邏輯是1950年代和1960年代期間隨着 Helena Rasiowa、Roman Sikorski、Los 和 Suszko 等人的工作在波蘭發展出來的代數邏輯現代子領域。它在1980年代隨着波蘭邏輯學家 Janusz Czelakowski、荷蘭邏輯學家 Willem Blok 和美國邏輯學家 Don Pigozzi 的出版物而達到成熟。AAL 的焦點從與特定邏輯系統關聯的特定代數類的研究轉移到了:

與其成員都滿足特定抽象邏輯性質的邏輯系統類關聯的代數類；
使一類代數變成給定邏輯系統的「代數對應者」的過程；
在一類邏輯系統所滿足的元邏輯性質和被它們的代數對應者所滿足的相應代數性質之間的關係。

從經典代數邏輯到抽象代數邏輯的歷程可比喻為從「現代」或抽象代數(比如，群、環、模、域等的研究)到泛代數(任意滿足特定抽象性質的相似類型的代數類的研究)的歷程。

開發抽象代數邏輯的兩個主要動機密切聯繫於上述要點 (1) 和 (3)。關於 (1)，轉移的關鍵步驟是 Rasiowa 的工作發起的。她的目標是抽象出對經典命題演算和布爾代數和其他密切關聯的邏輯系統中成立的結果和方法，在讓這些結果和方法可以應用於更廣泛的命題邏輯種類的方式下。

(3) 歸功於 Blok 和 Pigozzi 探索在各種邏輯系統上的不同形式的周知於經典命題演算和一階邏輯的演繹定理的聯合工作。他們把這個各種形式演繹定理關聯於這些邏輯系統的代數對應者的性質。

抽象代數邏輯已經變成代數邏輯的良好確立的子領域，有很多深入和有價值的成果。這些成果解釋了不同類的邏輯系統的很多性質，以前它們只有個案解釋或包裹在神秘之中。AAL 最重要的成就可能是把命題邏輯劃分成了層級，叫做抽象代數層級或萊布尼茲層級，它的不同層粗略的反映了在特定層的邏輯和它關聯的代數類之間的結合的力量。邏輯在這個層級中的位置確定了使用已知的代數方法和技術可以研究這個邏輯的範圍。一旦一個邏輯被指派了這個層級中一個層，你就可以從結果庫中汲取強大的能量，它已經積累了 30 多年了，支配着位於同一層的所有代數。

例子

邏輯系統	代數結構
命題邏輯	布爾代數
直覺命題邏輯	Heyting代數
命題模態邏輯	帶有算子的布爾代數
一階邏輯	圓柱代數多元代數謂詞函子邏輯
集合論	組合子邏輯關係代數

引用

W. Blok, D. Pigozzi. Algebraizable logics. Memories of the AMS, 77(396), 1989.
J. Czelakowski. Protoalgebraic Logics. Kluwer, 2001
J.M. Font, R. Jansana. A General Algebraic Semantics for Sentential Logics. Lecture Notes in Logic 7, Springer-Verlag 1996
J.M. Font, R. Jansana, D. Pigozzi. A survey of abstract algebraic logic. Studia Logica 74(1-2):13-79, 2003.