在數學中，柯西-利普希茨定理 （Cauchy-Lipschitz Theorem），又稱皮卡-林德勒夫定理 （Picard-Lindelöf Theorem），保證了一階常微分方程 的局部解以至最大解的存在性和唯一性。此定理最早由奧古斯丁·路易·柯西 於1820年發表，但直到1868年，才由魯道夫·利普希茨 給出確定的形式。另一個很常見的叫法是皮卡-林德勒夫定理 ，得名於數學家埃米爾·皮卡 和恩斯特·林德勒夫 。
局部定理 [ 編輯 ] 設E 賦範向量空間 （即一個巴拿赫空間 ），f E
f
:
U
×
I
⟶
E
(
x
,
t
)
⟼
f
(
x
,
t
)
{\displaystyle {\begin{matrix}f:&U\times I&\longrightarrow &E\\&(x,t)&\longmapsto &f(x,t)\end{matrix}}}
其中U E 開集 ，I
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
區間 。考慮以下的一階非線性 微分方程 ：
d
x
(
t
)
d
t
=
f
(
x
(
t
)
,
t
)
(
1
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}=f(x(t),t)\qquad \qquad (1)}
如果f t U 利普希茨條件 ，也就是說，
∃
κ
>
0
,
∀
t
∈
I
,
∀
x
,
y
∈
U
,
|
f
(
x
,
t
)
−
f
(
y
,
t
)
|
≤
κ
|
x
−
y
|
{\displaystyle \exists \kappa >0,\ \forall t\in I,\ \forall x,y\in U,\ \left|f(x,t)-f(y,t)\right|\leq \kappa \left|x-y\right|}
那麼對於任一給定的初始條件：
x
(
t
0
)
=
x
0
{\displaystyle x(t_{0})=x_{0}}
t
0
∈
I
{\displaystyle t_{0}\in I}
x
0
∈
U
{\displaystyle x_{0}\in U}
(
J
,
x
(
t
)
)
{\displaystyle (J,x(t))}
J
⊂
I
{\displaystyle J\subset I}
t
0
{\displaystyle t_{0}}
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)}
J
{\displaystyle J}
U
{\displaystyle U}
局部唯一性：在包含點
t
0
{\displaystyle t_{0}}
J
{\displaystyle J}
這個定理有點像物理學中的決定論 思想：當我們知道了一個系統的特性（微分方程）和在某一時刻系統的情況（
x
(
t
0
)
=
x
0
{\displaystyle x(t_{0})=x_{0}}
局部定理的證明 [ 編輯 ] 一個簡潔的證明思路為構造一個總是滿足初始條件的函數遞歸序列
y
n
+
1
=
Φ
(
y
n
)
{\displaystyle y_{n+1}=\Phi (y_{n})}
Φ
′
(
y
n
)
=
f
(
y
n
,
t
)
{\displaystyle \Phi ^{\prime }(y_{n})=f(y_{n},t)}
y
{\displaystyle y}
y
{\displaystyle y}
Φ
{\displaystyle \Phi }
不動點 ，這時就有
y
′
=
Φ
′
(
y
)
=
f
(
y
,
t
)
{\displaystyle y^{\prime }=\Phi ^{\prime }(y)=f(y,t)}
y
{\displaystyle y}
y
0
(
t
)
=
x
0
{\displaystyle y_{0}(t)=x_{0}\ }
Φ
(
y
i
)
(
t
)
=
x
0
+
∫
t
0
t
f
(
y
i
(
s
)
,
s
)
d
s
.
{\displaystyle \Phi (y_{i})(t)=x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}f(y_{i}(s),s)\,ds.}
這樣構造出來的函數列
(
y
i
)
i
≥
0
{\displaystyle (y_{i})_{i\geq 0}}
f
{\displaystyle f}
U
{\displaystyle U}
利普希茨條件 ，當區間足夠小的時候，
Φ
{\displaystyle \Phi }
收縮映射 。根據完備空間 的不動點存在定理，存在關於
Φ
{\displaystyle \Phi }
由於收縮映射的局部穩定不動點只有一個，因此在足夠小的區間內解是唯一的。
最大解定理 [ 編輯 ] 局部的柯西-利普希茨定理並沒有說明在較大區域上解的情況。事實上，對於微分方程（1）的任意解
(
J
,
x
(
t
)
)
{\displaystyle \ (J,x(t))}
(
J
′
,
x
′
(
t
)
)
{\displaystyle (J^{\prime },x^{\prime }(t))}
(
J
,
x
(
t
)
)
{\displaystyle \ (J,x(t))}
(
J
′
,
x
′
(
t
)
)
{\displaystyle (J^{\prime },x^{\prime }(t))}
J
⊂
J
′
{\displaystyle J\subset J^{\prime }}
x
′
(
t
)
{\displaystyle x^{\prime }(t)}
J
{\displaystyle \ J}
x
(
t
)
{\displaystyle \ x(t)}
微分方程的最大解是唯一存在的 。
證明思路 [ 編輯 ] 解的唯一性：假設有兩個不同的最大解，那麼由局部柯西-利普希茨定理可以證明其重疊部分的值相同，將兩者不同的部分分別延伸在重疊部分上，則會得到一個更「大」的解（只需驗證它滿足微分方程），矛盾。因此解唯一。
解的存在性：證明需要用到佐恩引理 ，構造所有解的併集。
擴展至高階常微分方程 [ 編輯 ] 對於一元的高階常微分方程
F
(
t
,
y
(
t
)
,
y
′
(
t
)
⋯
y
(
n
−
1
)
(
t
)
)
=
y
(
n
)
(
t
)
(
2
)
{\displaystyle F\left(t,y(t),y^{\prime }(t)\cdots y^{(n-1)}(t)\right)=y^{(n)}(t)\qquad \qquad (2)}
只需構造向量
Y
(
t
)
=
(
y
(
t
)
,
y
′
(
t
)
,
…
,
y
(
n
−
1
)
(
t
)
)
{\displaystyle Y(t)=(y(t),y'(t),\ \dots ,\ y^{(n-1)}(t))}
Φ
{\displaystyle \ \Phi }
Y
′
(
t
)
=
Φ
(
Y
(
t
)
,
t
)
{\displaystyle Y^{\prime }(t)=\Phi (Y(t),t)}
Y
(
t
0
)
=
Y
0
{\displaystyle Y(t_{0})=Y_{0}}
y
(
t
0
)
=
y
0
y
′
(
t
0
)
=
y
1
⋮
y
(
n
−
1
)
(
t
0
)
=
y
n
−
1
{\displaystyle {\begin{matrix}y(t_{0})=y_{0}\\y^{\prime }(t_{0})=y_{1}\\\vdots \\y^{(n-1)}(t_{0})=y_{n-1}\end{matrix}}}
擴展至偏微分方程 [ 編輯 ] 對於偏微分方程 ，有柯西-利普希茨定理的擴展形式：柯西-克瓦列夫斯基定理 ，保證了偏微分方程的解的存在性和唯一性。
參考資料 [ 編輯 ] 相關連結 [ 編輯 ] 
