矩問題

數學上，矩問題詢問是否可以由一個測度 μ 的矩序列

$m_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,d\mu (x)\,$

確定該測度。更一般地，亦可考慮序列

$m_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }M_{n}(x)\,d\mu (x)\,.$

其中 M_n 為任意一列函數。

簡介

最典型的例子中，μ 取為實數線上的測度，並取 M 為序列 {xⁿ : n = 0, 1, 2, ... }. 此種矩問題源自概率論，其意義為：是否存在一個概率測度，其平均數、方差等組成的序列等於給定的序列，又及該測度是否唯一。

矩問題當中，有三種以人名命名，分別為：允許 μ 的支撐集為全條實軸的Hamburger 矩問題、支撐集為 [0,+∞) 的斯蒂爾吉斯矩問題，以及支撐集為有界閉區間（不失一般性可設為 [0, 1]) 的豪斯多夫矩問題。

存在性

一個序列 m_n 為某個測度 μ 的矩，當且僅當其漢克爾矩陣 H_n,

$(H_{n})_{ij}=m_{i+j}\,,$

為半正定。 這是因為一個半正定的漢克爾矩陣對應一個線性泛函 $\Lambda$，其滿足 $\Lambda (x^{n})=m_{n}$ 和 $\Lambda (f^{2})\geq 0$（即：當作用於多項式的平方和時，其結果非負）。假設 $\Lambda$ 可以擴展成 $\mathbb {R} [x]^{*}$ 的元素。在單變量的情況下，非負的多項式必為若干個多項式的平方和，故線性泛函 $\Lambda$於非負多項式處均取非負值。由 Haviland (1936)，該線性泛函有測度形式，亦即 $\Lambda (x^{n})=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}d\mu$. 在有界區間 [a, b] 上，測度 $\mu$ 的存在性也有類似形式的充要條件。

可用以下方法證明上述結論。設線性泛函 $\scriptstyle \varphi$ 將多項式

$P(x)=\sum _{k}a_{k}x^{k}$

映到

$\sum _{k}a_{k}m_{k}.$

若 m_kn 為以 [a, b] 為支撐的測度 μ 的矩，則

φ(P) ≥ 0 對任意在 [a, b] 上非負的多項式 P 都成立。

(1)

反之，如果 (1) 為真，則可運用M. 里斯擴展定理將 $\phi$ 擴展成 C₀([a, b]) 上的線性泛函，其滿足

$\varphi (f)\geq 0\quad \forall f\in C_{0}([a,b]),\;f\geq 0$.

(2)

由里斯表示定理，(2) 成立當且僅當存在以 [a, b] 為支撐的測度 μ ，使得

$\varphi (f)=\int f\,d\mu$

對任意的 f ∈ C₀([a, b]) 成立。

由此可見， $\mu$ 的存在性等價於 (1). 再利用 [a, b] 上的非負多項式的表示定理，即可將 (1) 寫成一個關於漢克爾矩陣的條件。

詳見 Shohat & Tamarkin 1943 和 Krein & Nudelman 1977 。

唯一性

豪斯多夫矩問題中，可由魏爾斯特拉斯逼近定理得到 μ 的唯一性。該定理斷言：[0, 1] 上的連續函數集中，在一致範數的意義下，多項式集是稠密的。至於在無窮區間上的矩問題，唯一性是一個更深入的問題。參見 Carleman 條件(1922)、Krein 條件 (1940s) 和 Akhiezer (1965).

變式

矩問題的一個重要變式是截尾矩問題，其研究具有給定前 k （不為無窮大）階矩的測度的性質。截尾矩問題的研究成果，可以應用在極值問題、優化理論，以及概率論的極限定理上。 參見： 切比雪夫–馬可夫–斯蒂爾吉斯不等式 和 Krein & Nudelman 1977.

參見

• 斯蒂爾吉斯矩問題
• Hamburger 矩問題
• 豪斯多夫矩問題
• 矩 (數學)
• Carleman 條件
• 漢克爾矩陣

參考文獻

• Haviland, E. K. On the Momentum Problem for Distribution Functions in More Than One Dimension. I. American Journal of Mathematics. 1936-01, 58 (1): 164–168 [29 Nov 2018]. doi:10.2307/2371063. （原始內容存檔於2021-05-07）. 
• Shohat, James Alexander; Tamarkin, Jacob D. The Problem of Moments. New York: American mathematical society. 1943. 
• Akhiezer, Naum I. The classical moment problem and some related questions in analysis. New York: Hafner Publishing Co. 1965.  (由 N. Kemmer 譯自俄文)
• Krein, M. G.; Nudelman, A. A. The Markov moment problem and extremal problems. Ideas and problems of P. L. Chebyshev and A. A. Markov and their further development. Translations of Mathematical Monographs, Vol. 50. American Mathematical Society, Providence, R.I. 1977.  (由 D. Louvish 譯自俄文)
• Schmüdgen, Konrad. The moment problem. Springer International Publishing. 2017.