魏尔斯特拉斯逼近定理

魏尔斯特拉斯逼近定理有两个：

• 闭区间上的连续函数可用多项式级数一致逼近。
• 闭区间上周期为$2\pi$$2\pi$的连续函数可用三角函数级数一致逼近。

证明

• 第一逼近定理可以从第二逼近定理直接推出。
• 第二逼近定理的证明；

设f(t)为周期为$2\pi$$2\pi$的连续函数，定义$f_{a}(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}a^{\left|n\right|}e^{int}$$f_a(t) = \sum _{n=-\infty}^{+\infty} c_n a^{\left| n\right|} e^{int}$为一三角级数。

• • 首先证明$\left\{{e^{int}}\right\}_{n=-\infty }^{+\infty }$$\left\{{e^{int}}\right\}_{n=-\infty}^{+\infty}$，为一个正交函数系：

$\langle e^{int},e^{imt}\rangle ={\frac {1}{2\pi }}\int _{2\pi }^{0}e^{i(n+m)t}\,dt=0$$\langle e^{int},e^{imt} \rangle = \frac{1}{2\pi}\int _{2\pi}^{0} e^{i(n+m)t}\, dt = 0$

$\langle e^{int},e^{int}\rangle =||e^{int}||^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|e^{int}\right|^{2}\,dt=1$$\langle e^{int},e^{int} \rangle = ||e^{int}||^2 = \frac{1}{2\pi} \int _{0}^{2\pi}\left|e^{int}\right|^2\, dt = 1$(因为$\left|e^{int}\right|=1$$\left| e^{int}\right| = 1$)。 故令$f(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}e^{int}$$f(t) = \sum _{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{int}$，于是我们可以求出$c_{n}=\langle f(t),e^{int}\rangle ={\frac {1}{2\pi }}\int _{2\pi }^{0}f(t)e^{-int}\,dt$$c_n = \langle f(t),e^{int} \rangle = \frac{1}{2\pi}\int _{2\pi}^{0} f(t) e^{-int}\, dt$。 将$c_{n}$$c_n$代入 $f_{a}(t)$$f_a(t)$ 的定义式中，有：

$f_{a}(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{2\pi }^{0}(\sum _{n=-\infty }^{+\infty }a^{\left|n\right|}e^{in(t-s)})f(s)\,ds$$f_a(t)= \frac{1}{2\pi}\int _{2\pi}^{0} (\sum _{n=-\infty}^{+\infty} a^{\left| n\right|} e^{in(t-s)})f(s)\, ds$。

下面对积分号中的和式S求和，令$w=a^{\left|n\right|}e^{in(t-s)}$$w = a^{\left| n\right|}e^{in(t-s)}$，那么就有：$S=......+{\bar {w}}^{2}+{\bar {w}}+1+w+w^{2}+.....$$S=......+\bar{w}^2+\bar{w}+1+w+w^2+.....$，分成正负两部分求和，可知:

$S=W+{\bar {W}}=2Re\{W\}={\frac {1-a^{2}}{1-2a\cos(t-s)+a^{2}}}$$S = W + \bar{W} = 2Re\{W\} = \frac{1-a^2}{1 - 2a\cos(t-s)+ a^2}$ 带回原积分，有$f_{a}(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{2\pi }^{0}{\frac {1-a^{2}}{1-2a\cos(t-s)+a^{2}}}f(s)\,ds$$f_a(t) = \frac{1}{2\pi}\int _{2\pi}^{0}\frac{1-a^2}{1 - 2a\cos(t-s)+ a^2}f(s) \, ds$，这就是f(s)的泊松积分。其中$p_{a}(\theta )={\frac {1}{2\pi }}{\frac {1-a^{2}}{1-2a\cos(\theta )+a^{2}}}$$p_a(\theta) = \frac{1}{2\pi}\frac{1-a^2}{1 - 2a\cos(\theta)+ a^2}$称为泊松核。故有：

$f_{a}(t)=\int _{-\pi }^{\pi }p_{a}(x)f(t-x)\,dx$$f_a(t)=\int _{-\pi}^{\pi}p_a(x)f(t-x)\,dx$

我们要检验的的是$\left|f_{a}(t)-f(t)\right|$$\left|f_a(t)-f(t)\right|$在$a\to 1$$a\to 1$时的情况，可以证明：

$\left|f_{a}(t)-f(t)\right|<\int _{-\pi }^{\pi }p_{a}(x)\left|f(t-x)-f(t)\right|\,dx$$\left|f_a(t)-f(t)\right|< \int _{-\pi}^{\pi}p_a(x)\left|f(t-x)-f(t)\right|\,dx$

由f(t)的一致连续性，可以证明，上式在$r\to 1$$r\to 1$时，满足一致收敛的条件，故我们可以用$f_{r}(t)$$f_r(t)$来一致逼近f(t)。

参阅

• 傅里叶级数