斯通-魏尔施特拉斯逼近定理(Stone–Weierstrass theorem)有两个:
第一逼近定理可以推广至
上的有界闭集
- 第一逼近定理与第二逼近定理可以互相推导[1][2]。
- 第二逼近定理的证明:
设
为周期为
的连续函数,定义
为一三角级数。
首先证明
,为一个正交函数系:
(因为
)。
故令
,于是我们可以求出
。
将
代入
的定义式中,有:
。
下面对积分号中的和式S求和,令
,那么就有:
,分成正负两部分求和,可知:
代回原积分,有
,这就是f(s)的泊松积分。其中
称为泊松核。故有:
我们要检验的的是
在
时的情况,可以证明:
由
的一致连续性,可以证明,上式在
时,满足一致收敛的条件,故我们可以用
来一致逼近
。
- ^ 柯朗; 希尔伯特. 数学物理方法. 北京: 科学出版社. 2011: 57–58. ISBN 978-7-03-031361-4.
- ^ 菲赫金哥尔茨. 微积分学教程 3. 路见可, 余家荣, 吴亲仁 译. 北京: 高等教育出版社. 2006: 480–481. ISBN 978-7-04-018305-4.