魏尔施特拉斯逼近定理

斯通-魏尔施特拉斯逼近定理（Stone–Weierstrass theorem）有两个：

闭区间上的连续函数可用多项式级数一致逼近。
闭区间上周期为 $2\pi$ 的连续函数可用三角函数级数一致逼近。

证明[编辑]

第一逼近定理可以从第二逼近定理直接推出。
第二逼近定理的证明；

设f(t)为周期为 $2\pi$ 的连续函数，定义 $f_{a}(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}a^{\left|n\right|}e^{int}$ 为一三角级数。

- 首先证明 $\left\{{e^{int}}\right\}_{n=-\infty }^{+\infty }$ ，为一个正交函数系：

$\langle e^{int},e^{imt}\rangle ={\frac {1}{2\pi }}\int _{2\pi }^{0}e^{i(n-m)t}\,dt=0$

$\langle e^{int},e^{int}\rangle =||e^{int}||^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|e^{int}\right|^{2}\,dt=1$ (因为 $\left|e^{int}\right|=1$ )。故令 $f(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}e^{int}$ ，于是我们可以求出 $c_{n}=\langle f(t),e^{int}\rangle ={\frac {1}{2\pi }}\int _{2\pi }^{0}f(t)e^{-int}\,dt$ 。将 $c_{n}$ 代入 $f_{a}(t)$ 的定义式中，有：

$f_{a}(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{2\pi }^{0}(\sum _{n=-\infty }^{+\infty }a^{\left|n\right|}e^{in(t-s)})f(s)\,ds$ 。

下面对积分号中的和式S求和，令 $w=a^{\left|n\right|}e^{in(t-s)}$ ，那么就有： $S=......+{\bar {w}}^{2}+{\bar {w}}+1+w+w^{2}+.....$ ，分成正负两部分求和，可知:

$S=W+{\bar {W}}=2Re\{W\}={\frac {1-a^{2}}{1-2a\cos(t-s)+a^{2}}}$ 带回原积分，有 $f_{a}(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{2\pi }^{0}{\frac {1-a^{2}}{1-2a\cos(t-s)+a^{2}}}f(s)\,ds$ ，这就是f(s)的泊松积分。其中 $p_{a}(\theta )={\frac {1}{2\pi }}{\frac {1-a^{2}}{1-2a\cos(\theta )+a^{2}}}$ 称为泊松核。故有：