魏尔斯特拉斯逼近定理

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魏尔斯特拉斯逼近定理有两个:

证明[编辑]

  • 第一逼近定理可以从第二逼近定理直接推出。
  • 第二逼近定理的证明;

设f(t)为周期为的连续函数,定义为一三角级数。

    • 首先证明,为一个正交函数系:

(因为)。 故令,于是我们可以求出。 将代入 的定义式中,有:

下面对积分号中的和式S求和,令,那么就有:,分成正负两部分求和,可知:

带回原积分,有,这就是f(s)的泊松积分。其中称为泊松核。故有:

我们要检验的的是时的情况,可以证明:

由f(t)的一致连续性,可以证明,上式在时,满足一致收敛的条件,故我们可以用来一致逼近f(t)。

参阅[编辑]