范德蒙恆等式(英文:Vandermonde's Identity)是一個有關組合數的求和公式。
![{\displaystyle {\binom {n+m}{k}}=\sum _{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}{\binom {m}{k-i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06278503a60302befa0aea9e1eae1300fe546639)
組合方法[編輯]
甲班有
個同學,乙班有
個同學,從兩個班中選出
個同學有
種方法。
從甲班選
名,從乙班選
名有
種方法,考慮所有情況
,從兩個班中合計
選出個同學有
種方法。
所以
[1]
母函數方法[編輯]
注意到
![{\displaystyle (1+x)^{n}(1+x)^{m}=(1+x)^{n+m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8093845ce1b833de2d0287211289721591b727cc)
等號左邊化簡成
![{\displaystyle (1+x)^{n}(1+x)^{m}=\left(\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}x^{i}\right)\left(\sum _{j=0}^{m}{\binom {m}{j}}x^{j}\right)=\sum _{k=0}^{m+n}\left(\sum _{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}{\binom {m}{k-i}}\right)x^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/082e6ec92a31ab45f029412b1b9e9914db81752f)
等號右邊則根據定義
![{\displaystyle (1+x)^{n+m}=\sum _{k=0}^{n+m}{\binom {n+m}{k}}x^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d684c62f413e624ce4b5a755477e26446e84e93b)
比較
系數,可得
[1]
多變量型[編輯]
其中
[2]
展開
可得以上結論。
超幾何函數[編輯]
范德蒙恆等式是超幾何函數的一個整數特例。
[3]
參考資料[編輯]