范德蒙恒等式(英文:Vandermonde's Identity)是一个有关组合数的求和公式。
![{\displaystyle {\binom {n+m}{k}}=\sum _{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}{\binom {m}{k-i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06278503a60302befa0aea9e1eae1300fe546639)
组合方法[编辑]
甲班有
个同学,乙班有
个同学,从两个班中选出
个同学有
种方法。
从甲班选
名,从乙班选
名有
种方法,考虑所有情况
,从两个班中合计
选出个同学有
种方法。
所以
[1]
母函数方法[编辑]
注意到
![{\displaystyle (1+x)^{n}(1+x)^{m}=(1+x)^{n+m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8093845ce1b833de2d0287211289721591b727cc)
等号左边化简成
![{\displaystyle (1+x)^{n}(1+x)^{m}=\left(\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}x^{i}\right)\left(\sum _{j=0}^{m}{\binom {m}{j}}x^{j}\right)=\sum _{k=0}^{m+n}\left(\sum _{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}{\binom {m}{k-i}}\right)x^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/082e6ec92a31ab45f029412b1b9e9914db81752f)
等号右边则根据定义
![{\displaystyle (1+x)^{n+m}=\sum _{k=0}^{n+m}{\binom {n+m}{k}}x^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d684c62f413e624ce4b5a755477e26446e84e93b)
比较
系数,可得
[1]
多变量型[编辑]
其中
[2]
展开
可得以上结论。
超几何函数[编辑]
范德蒙恒等式是超几何函数的一个整数特例。
[3]
参考资料[编辑]