離散小波變換

在數值分析和泛函分析領域中，離散小波轉換（Discrete Wavelet Transform，DWT）是小波被離散取樣的小波轉換。與其他小波轉換一樣，它與傅利葉轉換相比的一個關鍵優勢是時間解像度：它既能捕獲頻率資訊，又能捕獲位置（時間上的位置）資訊。

第一個離散小波變換由匈牙利數學家哈爾發明，離散小波轉換顧名思義就是離散的輸入以及離散的輸出，但是這裏並沒有一個簡單而明確的公式來表示輸入及輸出的關係，只能以階層式架構來表示。

定義

• 首先我們定義一些需要用到的訊號及濾波器。
• x[n]：離散的輸入訊號，長度為N。
• $g[n]$：low pass filter低通濾波器，可以將輸入訊號的高頻部份濾掉而輸出低頻部份。
• $h[n]$：high pass filter高通濾波器，與低通濾波器相反，濾掉低頻部份而輸出高頻部份。
• $\downarrow$ Q：downsampling filter降取樣濾波器，如果以x[n]作為輸入，則輸出y[n]=x[Qn]。此處舉例Q=2。

舉例說明:

清楚規定以上符號之後，便可以利用階層架構來介紹如何將一個離散訊號作離散小波轉換：

架構中的第1層(1st stage)

$x_{1,L}[n]=\sum _{k=0}^{K-1}x[2n-k]g[k]$

$x_{1,H}[n]=\sum _{k=0}^{K-1}x[2n-k]h[k]$

架構中的第2層(2nd stage)

$x_{2,L}[n]=\sum _{k=0}^{K-1}x_{1,L}[2n-k]g[k]$

$x_{2,H}[n]=\sum _{k=0}^{K-1}x_{1,L}[2n-k]h[k]$

可繼續延伸

$\vdots$

$\vdots$

架構中的第$\alpha$層($\alpha -th$ stage)

$x_{\alpha ,L}[n]=\sum _{k=0}^{K-1}x_{\alpha -1,L}[2n-k]g[k]$

$x_{\alpha ,H}[n]=\sum _{k=0}^{K-1}x_{\alpha -1,L}[2n-k]h[k]$

注意：若輸入訊號$x[n]$的長度是N，則第$\alpha$層中的$x_{\alpha ,L}[n]$及$x_{\alpha ,H}[n]$的長度為${\frac {N}{2^{\alpha }}}$

二維離散小波轉換

此時的輸入訊號變成$x[m,n]$，而轉換過程變得更複雜，說明如下：

首先對n方向作高通、低通以及降頻的處理

$v_{1,L}[m,n]=\sum _{k=0}^{K-1}x[m,2n-k]g[k]$

$v_{1,H}[m,n]=\sum _{k=0}^{K-1}x[m,2n-k]h[k]$

接着對$v_{1,L}[m,n]$與$v_{1,H}[m,n]$延著m方向作高低通及降頻動作

$x_{1,LL}[m,n]=\sum _{k=0}^{K-1}v_{1,L}[2m-k,n]g[k]$

$x_{1,HL}[m,n]=\sum _{k=0}^{K-1}v_{1,L}[2m-k,n]h[k]$

$x_{1,LH}[m,n]=\sum _{k=0}^{K-1}v_{1,H}[2m-k,n]g[k]$

$x_{1,HH}[m,n]=\sum _{k=0}^{K-1}v_{1,H}[2m-k,n]h[k]$

經過(1)(2)兩個步驟才算完成2-D DWT的一個stage。

實際範例

以下根據上述2-D DWT的步驟，對一張影像作二維離散小波轉換(2D Discrete Wavelet Transform)

原始影像

2D DWT的結果

$\Rightarrow$

複雜度(Complexity)

在討論複雜度之前，先做一些定義，當x[n]*y[n]時，x[n]之長度為N，y[n]之長度為L： $\ \Rightarrow IDFT_{N+L-1}\left[DFT_{N+L-1}(x[n])DFT_{N+L-1}(y[n])\right]$

其中，

$\ IDFT_{N+L-1}$為(N+L-1)點離散傅利葉反轉換(inverse discrete Fourier transform)

$\ DFT_{N+L-1}$為(N+L-1)點離散傅利葉轉換(discrete Fourier transform)

(1)一維離散小波轉換之複雜度(沒有分段摺積(sectioned convolution))：

${\frac {3}{2}}(N+L-1)\log _{2}{(N+L-1)}\approx {\frac {3}{2}}N\log _{2}N$

(2)當 N >>> L 時，使用 「分段摺積(sectioned convolution)」的技巧：

將x[n]切成很多段，每段長度為$\mathbb {N} _{1}$，總共會有$S={\frac {N}{N_{1}}}$段，其中$N>N_{1}>>L$。

則

$\ x[n]*g[n]=x_{1}[n]*g[n]+x_{2}[n]*g[n]+...+x_{s}[n]*g[n]$

$\ x[n]*h[n]=x_{1}[n]*h[n]+x_{2}[n]*h[n]+...+x_{s}[n]*h[n]$

複雜度為：

${\begin{aligned}{\frac {3}{2}}S(N_{1}+L-1)\log _{2}{(N_{1}+L-1)}&\approx {\frac {3}{2}}SN_{1}\log _{2}(N_{1}+L-1)\\&\approx {\frac {3}{2}}N\log _{2}(N_{1}+L-1)\\&\approx {\frac {3}{2}}N\log _{2}N_{1}\\\end{aligned}}$

在這裏要注意的是，當N>>L時，一維離散小波轉換之複雜度是呈線性的(隨N)，${\mathit {O(N)}}$。

(3)多層(Multiple stages )的情況下：

1.若$\ x_{a,H}[n]$不再分解時：

${\begin{aligned}Complexity&\approx \left(N+{\frac {N}{2}}+{\frac {N}{4}}+{\frac {N}{8}}+...+2\right){\frac {3}{2}}\log _{2}N_{1}\\&=(2N-2){\frac {3}{2}}\log _{2}N_{1}\\&\approx 3N\log _{2}N_{1}\\\end{aligned}}$

2.若$\ x_{a,H}[n]$也細分時：

${\begin{aligned}Complexity&\approx \left(N+2{\frac {N}{2}}+4{\frac {N}{4}}+8{\frac {N}{8}}+...+{\frac {N}{2}}2\right){\frac {3}{2}}\log _{2}N_{1}\\&=(N\log _{2}N){\frac {3}{2}}\log _{2}N_{1}\\\end{aligned}}$

(4)二維離散小波轉換之複雜度(沒有分段摺積(sectioned convolution))： $\ \Rightarrow M{\frac {3}{2}}(N+L-1)\log _{2}{(N+L-1)}+(N+L-1){\frac {3}{2}}(M+L-1)\log _{2}{(M+L-1)}$

上式中，第一部分需要M個一維離散小波轉換並且每個一維離散小波轉換的輸入有N個點；第二部分需要N+L-1個一維離散小波轉換並且每個一維離散小波轉換的輸入有M個點。

${\begin{aligned}Complexity&\approx {\frac {3}{2}}MN\log _{2}N+{\frac {3}{2}}MN\log _{2}M\\&={\frac {3}{2}}MN(\log _{2}N+\log _{2}M)\\&={\frac {3}{2}}MN\log _{2}MN\\\end{aligned}}$

(5)二維離散小波轉換之複雜度，使用 「分段摺積(sectioned convolution)」的技巧：

假設原始尺寸為$M\times N$，則每一小部分的尺寸為$M_{1}\times N_{1}$

${\begin{aligned}Complexity&\approx {\frac {MN}{M_{1}N_{1}}}{\frac {3}{2}}M_{1}N_{1}\log _{2}M_{1}N_{1}\\&={\frac {3}{2}}MN\log _{2}M_{1}N_{1}\\\end{aligned}}$

所以若是使用分段摺積，則二維離散小波轉換之複雜度是呈線性的(隨MN)，${\mathit {O(MN)}}$。

(6)多層(Multiple stages )與二維的情況下：

首先x[m,n]的尺寸為$M\times N$，

1.若$\ x_{a,H_{1}}[n],x_{a,H_{2}}[n],x_{a,H_{3}}[n]$不細分，只細分$\ x_{a,L}[n]$時，總複雜度為：

${\begin{aligned}totalcomplexity&=\left(MN+{\frac {MN}{4}}+{\frac {MN}{16}}+...\right){\frac {3}{2}}\log _{2}M_{1}N_{1}\\&\approx {\frac {4}{3}}MN{\frac {3}{2}}\log _{2}M_{1}N_{1}\\&=2MN\log _{2}M_{1}N_{1}\\\end{aligned}}$

2.若$\ x_{a,H_{1}}[n],x_{a,H_{2}}[n],x_{a,H_{3}}[n]$也細分時，總複雜度為：

${\begin{aligned}totalcomplexity&=\left(MN+4{\frac {M}{2}}{\frac {N}{2}}+16{\frac {M}{4}}{\frac {N}{4}}+...\right){\frac {3}{2}}\log _{2}M_{1}N_{1}\\&=\left[MN\log _{2}(min(M,N))\right]{\frac {3}{2}}\log _{2}M_{1}N_{1}\\\end{aligned}}$

重建(Reconstruction)

使用離散小波轉換，將訊號個別通過一個低通濾波器和一個高通濾波器，得到訊號的高低頻成分，而在重建(Reconstruction)原始訊號的過程，也就是離散小波的逆轉換(Inverse Discrete Wavelet Transform. IDWT)，直觀而言，我們僅是需要將離散小波轉換做重建濾波即可得到原始輸入訊號，以下將推導重建濾波器，也就是IDWT高低通濾波器的構成要件，以及如何來重建原始訊號。

重建過程如下：

使用Z轉換：

$X(z)=\sum x(n)z^{-n}$

• DWT低通濾波器 $g(n)$ 的Z轉換為 $G(z)$ ，DWT高通濾波器$h(n)$的Z轉換為$H(z)$

• 訊號$x(n)$通過濾波器 $g(n)$ 後，Z轉換為 $X(z)$$G(z)$ ，訊號$x(n)$通過濾波器 $h(n)$ 後，Z轉換為 $X(z)$$H(z)$

• 降低採樣數(downsample)2倍後，

$X_{1,L}(z)={\frac {1}{2}}[X(z^{\frac {1}{2}})G(z^{\frac {1}{2}})+X(-z^{\frac {1}{2}})G(-z^{\frac {1}{2}})]$

$X_{1,H}(z)={\frac {1}{2}}[X(z^{\frac {1}{2}})H(z^{\frac {1}{2}})+X(-z^{\frac {1}{2}})H(-z^{\frac {1}{2}})]$

• 升頻(interpolation)2倍後，再通過IDWT的低通重建濾波器 $g_{1}(n)$ ，

$X_{0}(z)={\tfrac {1}{2}}[X(z)G(z)+X(-z)G(-z)]G_{1}(z)+{\tfrac {1}{2}}[X(z)H(z)+X(-z)H(-z)]H_{1}(z)$

$={\tfrac {1}{2}}[G(z)G_{1}(z)+H(z)H_{1}(z)]X(z)+{\tfrac {1}{2}}[G(-z)G_{1}(z)+H(-z)H_{1}(z)]X(-z)$

若要完整重建，則$X_{0}(z)=X(z)$

條件1：$G(z)G_{1}(z)+H(z)H_{1}(z)=2$

條件2：$G(-z)G_{1}(z)+H(-z)H_{1}(z)=0$

因此，在設計高低通重建濾波器時，需要考慮上述條件，寫成矩陣形式如下：

${\binom {G_{1}(z)}{H_{1}(z)}}={\frac {2}{det(H_{m}(z))}}{\binom {H(-z)}{-G(-z)}}$

其中 $det(H_{m}(z))=G(z)H(-z)-H(z)G(-z)$

離散小波轉換(DWT)設計

四大條件：

1.DWT通濾波器 $g(n)$，$h(n)$必須要是有限長度。

2.滿足$h(n)$是高通濾波器(high pass filter)，$g(n)$是低通濾波器(low pass filter)。

3.滿足完整重建要條件，${\binom {G_{1}(z)}{H_{1}(z)}}={\frac {2}{det(H_{m}(z))}}{\binom {H(-z)}{-G(-z)}}$，其中 $det(H_{m}(z))=G(z)H(-z)-H(z)G(-z)$

4.若$g(n)$，$h(n)$為有限長度，則$det(H_{m}(z))=G(z)H(-z)-H(z)G(-z)=\alpha z^{k}$ ，且 $k$ 為奇數。

>第4點較難達成，是DWT設計的核心

*為什麼k是奇數？

假設k為偶數，

z=-1

$det(H_{m}(-1))=G(-1)H(1)-H(-1)G(1)=\alpha (-1)^{k}=1$

z=1

$det(H_{m}(1))=G(1)H(-1)-H(1)G(-1)=\alpha (1)^{k}=1$

$G(1)H(-1)-H(1)G(-1)=G(-1)H(1)-H(-1)G(1)$

$H(1)G(-1)=G(1)H(-1)$

代回

$det(H_{m}(-1))=G(-1)H(1)-H(-1)G(1)=0$

顯然出現矛盾。

所以k必須為奇數。

以下介紹兩種完美重建的DWT濾波器：

1.Quadrature Mirror Filter(QMF)

• $H(z)=G(-z)$

$\Longrightarrow$ $h(n)=(-1)^{n}g(n)$

• $G_{1}(z)=G(z)z^{-k}$

$\Longrightarrow$ $g_{1}(n)=g(n-k)$

• $H_{1}(z)=-G(-z)z^{-k}$

$\Longrightarrow$ $h_{1}(n)=(-1)^{n-k+1}g(n-k)$

$det(H_{m}(z))=G(z)H(-z)-H(z)G(-z)=2z^{k}$，且 $k$ 為奇數。

2.Orthonormal Wavelet

• $G(z)=G_{1}(z^{-1})$

$\Longrightarrow$ $g(n)=g_{1}(-n)$

• $H(z)=-z^{k}G_{1}(-z)$

$\Longrightarrow$ $h(n)=(-1)^{n}g_{1}(n+k)$

• $H_{1}(z)=-z^{k}G_{1}(-z^{-1})$

$\Longrightarrow$ $h_{1}(n)=(-1)^{n}g_{1}(-n+k)$

$det(H_{m}(z))=G(z)H(-z)-H(z)G(-z)=2z^{k}$，且 $k$ 為奇數。

多數的wavelet屬於orthonormal wavelet。

其他應用

壓縮、去除雜訊：使用低通濾波器，將小波轉換的高頻濾掉，即保留$x_{1,LL}[m,n]$而將其他部分捨棄。

• 邊緣偵測：使用高通濾波器，將小波的低頻濾掉，即保留$x_{1,HL}[m,n]$或$x_{1,LH}[m,n]$而捨棄其他部分。
• R語言小波分析wavelet （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• 作為 JPEG2000 的內部架構
• 模式辨認：由於可以利用低頻的部分得到原圖的縮略版，加上模式通常為整體的特性，藉由在縮略圖上進行工作，小波轉換可以有效減少尋找模式與比對模式的運算時間
• 濾波器設計：小波轉換保留部分時間資訊，可以據此資訊加上訊號的強度資訊，保留特定時點的資訊而同時去除雜訊

同時參閱

• 小波分析
• 連續小波轉換
• 哈爾小波轉換
• 訊號處理

參考

• Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note,the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2009,2016 .http://djj.ee.ntu.edu.tw/TFW.htm （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• Stéphane Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）