非交換概率空間

在數學的分支概率論和算子代數中，非交換概率空間是對經典概率空間、尤其是經典概率論的隨機變量代數表述的推廣。一般的非交換概率空間也稱代數非交換概率空間，其定義為一個有單位元的代數 ${\mathcal {A}}$ ，其上配備有一個保單位元的線性泛函 $\phi$ 。 ${\mathcal {A}}$ 中元素可視為是非交換版本的隨機變量，而 $\phi$ 則計算各隨機變量的期望。出於各種實際目的，代數非交換概率空間定義中的要求往往需要加強，從而引出§ 非交換*-概率空間等概念。

非交換概率空間是非交換概率論的基本數學結構，非交換概率論可應用在譜理論、隨機矩陣和量子力學中。

動機

隨機變量代數與期望

參見：概率空間

測度論表述中的概率論是基於所謂概率空間 $(\Omega ,\Sigma ,\mathbb {P} )$ ，即一個總測度為一的（正）測度空間。所謂隨機變量即是其上的實值可測函數，而隨機變量的期望則是其勒貝格積分。

現在考慮全體本質有界的隨機變量，它們構成了一個 $\mathbb {R}$ 上的代數，這裏簡單記作 $L^{\infty }$ 。在這個代數上，期望映射 $\mathbb {E} :L^{\infty }\to \mathbb {R}$ 是唯一能滿足 $\forall X\in \Sigma ,\ \mathbb {E} (1_{X})=\mathbb {P} (X)$ 且給出單調收斂性質的線性映射，其中 $1_{X}$ 表示 $X$ 的指示函數。反過來，若具有單調收斂性質的非負線性映射 $\mathbb {E} :L^{\infty }\to \mathbb {R}$ 滿足 $\mathbb {E} (\mathbf {1} )=1$ （其中 $\mathbf {1}$ 是值為一的常函數，即 $L^{\infty }$ 上的乘法單位元），則可用 $\forall X\in \Sigma ,\ \mathbb {E} (1_{X})=\mathbb {P} (X)$ 一式唯一地定義一個概率測度。在這個意義上，隨機變量代數的期望映射和概率空間的概率測度是一一對應的。藉助單調類定理，還可建立在單調收斂下封閉的 $\Omega$ 上的有界函數代數與 $L^{\infty }$ 的一一對應。

對事件空間地位的降低，以及對代數性質的強調，使得概率論可以有較明顯的推廣方案，來兼容非交換的隨機變量。

量子概率與*-代數

參見：可觀察量和*-代數

分析性質

參見：C*-代數和馮諾依曼代數

定義

非交換概率空間

$({\mathcal {A}},\phi )$ 是一代數非交換概率空間，若 ${\mathcal {A}}$ 是 $\mathbb {C}$ 上的一個有單位元 $1_{\mathcal {A}}$ 的代數， $\phi :{\mathcal {A}}\to \mathbb {C}$ 是 ${\mathcal {A}}$ 上一個滿足 $\phi (1_{\mathcal {A}})=1$ 的線性泛函。一些作者也考慮代數無單位元的情況。

非交換*-概率空間

$({\mathcal {A}},\phi )$ 是一非交換*-概率空間，若 $({\mathcal {A}},\phi )$ 是一個代數非交換概率空間，且滿足：

• ${\mathcal {A}}$ 是一個*-代數；
• $\phi$ 是一個正映射，也就是說 ${\mathcal {A}}$ 中的正元總是被映為非負實數，或者等價地說
  $$\forall a\in {\mathcal {A}},\quad \phi (a^{*}a)\geq 0.$$
  這個條件結合 $\phi (1_{\mathcal {A}})=1$ 意味着 $\phi$ 是一個態。

非交換C*-概率空間

$({\mathcal {A}},\phi )$ 是一非交換C*-概率空間，若 $({\mathcal {A}},\phi )$ 是一個非交換*-概率空間，且滿足：

• ${\mathcal {A}}$ 是一個C*-代數；
• 態 $\phi$ 是非退化的，也就是說 $\|a\|_{\infty }=0\implies a=0.$

上面的 $\|\cdot \|_{\infty }$ 是一個 $\phi$ 誘導的半範數，定義為

$$\forall a\in {\mathcal {A}},\quad \|a\|_{\infty }=\sup\{\|ax\|_{2}|x\in {\mathcal {A}}\land \|x\|_{2}\leq 1\},$$

形式上它類似於左乘映射 $x\mapsto ax$ 的算子範數。一些作者不要求 $\phi$ 為非退化的，因為總是可商去滿足 $\|a\|_{\infty }=0$ 的元素所構成的*-理想使其成為非退化的。

非交換W*-概率空間

$({\mathcal {A}},\phi )$ 是一非交換W*-概率空間，若 $({\mathcal {A}},\phi )$ 是一個非交換C*-概率空間，且滿足：

• ${\mathcal {A}}$ 是一個W*-代數；
• 態 $\phi$ 是正規的。或者等價地說， $\phi$ 是超弱連續的。

值得一提的是，即便在非交換概率空間的定義中解除對有單位元的要求，如此定義的非交換W*-概率空間也必然有單位元。