A公理

在數學中，斯梅爾A公理（Smale's axiom A）確定了一類相對容易理解的動力系統。一個著名的例子是斯梅爾馬蹄鐵映射。術語「A公理」是斯蒂芬·斯梅爾起的。

定義

設M是光滑流形， $f:M\to M$ 是M到自身的微分同胚。以下兩個條件合在一起稱為A公理：

$f$ 的非遊蕩集 $\Omega (f)$ 是雙曲的緊集。
$f$ 的周期點在 $\Omega (f)$ 中稠密。

滿足A公理的微分同胚稱為A公理微分同胚。若M是二維曲面，則非遊蕩集的雙曲性蘊含了周期點的稠密性，但對三維以上的流形則不成立。儘管如此，A公理微分同胚有時仍被稱作雙曲微分同胚，因為M上發生有趣的動力學的部分，即 $\Omega (f)$ ，表現出雙曲的行為。

A公理微分同胚是莫爾斯-斯梅爾系統的推廣，後者有更多的限制（有限的周期點，穩定、不穩定子流形的橫截性）。斯梅爾馬蹄鐵映射是具有無限周期點和正的拓撲熵的A公理微分同胚。

性質

所有阿諾索夫微分同胚都滿足A公理。對於這種情況，整個流形M就是雙曲的（儘管還不知道非遊蕩集 $\Omega (f)$ 是否構成了整個M）。

Rufus Bowen證明了A公理微分同胚的非遊蕩集 $\Omega (f)$ 都有馬爾可夫劃分。

非遊蕩集中的周期點的稠密性蘊含了局部極大性：存在 $\Omega (f)$ 的開鄰域U使得

$\bigcap _{n\in \mathbb {Z} }{f^{n}(U)}=\Omega (f)$

ω穩定性

A公理系統有一個重要的性質：對微小擾動的結構穩定性。就是說，對系統施加一個微小的擾動，擾動後的系統與未擾動的系統之間有一對一的拓撲對應，把擾動後系統的軌道變成未擾動系統的軌道。這個性質的重要性在於，它表明了A公理系統不是特例，在某種意義上是「普遍的」。

更精確地說，對 $f$ 的連續可微的擾動 $f_{\varepsilon }$ ，非遊蕩集由兩個緊緻的 $f_{\varepsilon }$ -不變子集 $\Omega _{1},\Omega _{2}$ 組成。第一個子集同胚於 $\Omega (f)$ ，同胚映射h滿足：

$f_{\varepsilon }\circ h(x)=h\circ f(x),\quad \forall x\in \Omega (f)$

若 $\Omega _{2}$ 是空集，則h是到 $\Omega (f_{\varepsilon })$ 上的滿射。若對任意擾動 $f_{\varepsilon }$ 都是這種情況則稱f是ω穩定的。微分同胚 $f$ 是ω穩定的若且唯若 $f$ 滿足A公理與無環條件（軌道一旦離開某個不變子集就不再返回這個子集）。

參考資料

Abraham and Marsden, Foundations of Mechanics (1978) Benjamin/Cummings Publishing, see Section 7.5
Ruelle, David (1978). Thermodynamic formalism. The mathematical structures of classical equilibrium. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. 5. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 0-201-13504-3. Zbl 0401.28016.
Ruelle, David (1989). Chaotic evolution and strange attractors. The statistical analysis of time series for deterministic nonlinear systems. Lezioni Lincee. Notes prepared by Stefano Isola. Cambridge University Press. ISBN 0-521-36830-8. Zbl 0683.58001.