符號函數 |
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c0/Signum_function.png/220px-Signum_function.png) |
性質 |
奇偶性 | 奇函數 |
定義域 | (-∞,∞) |
到達域 | |
周期 | N/A |
特定值 |
當x=0 | 0 |
當x=+∞ | 1 |
當x=-∞ | -1 |
最大值 | 1 |
最小值 | -1 |
其他性質 |
漸近線 | N/A |
根 | 0 |
臨界點 | N/A |
拐點 | N/A |
不動點 | 0,1,-1 |
符號函數(藍色)、符號函數的微分(橘色),其中,符號函數的微分正好是2倍的
狄拉克δ函數
符號函數(Sign function,簡稱sgn)是一個邏輯函數,用以判斷實數的正負號。為避免和英文讀音相似的正弦函數(sine)混淆,它亦稱為Signum function。其定義為:
![{\displaystyle \operatorname {sgn} x=\left\{{\begin{matrix}-1&:&x<0\\0&:&x=0\\1&:&x>0\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ed658b2b97871cfc800316980da7c87a77899b5)
用艾佛森括號定義:
![{\displaystyle \operatorname {sgn} x=-[x<0]+[x>0]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e4db033f5a770e059bb55e90bf6b05f15767567)
任何實數都可以表示為其絕對值和符號函數的積:
![{\displaystyle x=(\operatorname {sgn} x)|x|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/135470e69e85dd989ee9b276976e01906bccd190)
若x不為零,可以由上式得出符號函數的另一個定義:
![{\displaystyle \operatorname {sgn} x={x \over |x|}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a184a4acf5d78d55004eb42072e528eb2136e44)
符號函數是絕對值函數的導數:
![{\displaystyle {\frac {d|x|}{dx}}={\frac {x}{|x|}}=\operatorname {sgn} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9470eb14dfb1ae18f5d7cad9ed30c41029284b3)
除了在0,符號函數可微分,其導數為0。透過一般化微分概念,可以說符號函數的導數是狄拉克δ函數的兩倍:
![{\displaystyle {d\ \operatorname {sgn} x \over dx}=2\delta (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a0af22b47fbca543c0fe02352c3a078e86412f2)
它和單位步階函數的關係:
![{\displaystyle \operatorname {sgn} x=2H_{1/2}(x)-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fac60fca37c9995bd22b5c12721936c9121841bb)
符號函數可以推廣到複數:對於任意
,
![{\displaystyle \operatorname {sgn} z={\frac {z}{|z|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2374c73ee5e35f66d55b77e324ec4be97cc0d4b0)
對於任何z ∈
,除了z = 0以外。複數z的符號函數,是複平面上中心為原點的單位圓上距離z最近的點。那麼,對於z ≠ 0,有:
![{\displaystyle \operatorname {sgn} z=\exp(i\arg z)\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58641732fb7c47c96f60de421b838ebe09db4ef9)
其中arg表示輻角。
出於對稱的原因,並且為了實現對實數的符號函數的適當推廣,對於z = 0,也常常在複數域中定義:
![{\displaystyle \operatorname {sgn} 0=\operatorname {sgn}(0+0i)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e98ad4e09afa6dda781fd8a8ffc32953e9fe6768)
符號函數在複數範圍的另外一個推廣是csgn函數,定義為:
![{\displaystyle \operatorname {csgn} (z)={\begin{cases}1&{\text{if }}\Re (z)>0\lor (\Re (z)=0\land \Im (z)>0),\\-1&{\text{if }}\Re (z)<0\lor (\Re (z)=0\land \Im (z)<0),\\0&{\text{if }}\Re (z)=\Im (z)=0.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/997f88ce5f63ae2adaf3346d41758b68d04720f0)
即是在一四象限及 xy 軸正半軸為1,二三象限及 xy 軸負半軸為-1,原點為0。
對於 csgn,我們有(除了z = 0以外):
![{\displaystyle \operatorname {csgn} (z)={\frac {z}{\sqrt {z^{2}}}}={\frac {\sqrt {z^{2}}}{z}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80928ebc95130b13743463767a32e8f0efd6c111)