完美长方体

Euler brick with edges a,b,c and face diagonals d,e,f

完美长方体，又称完美盒，指任意两顶点之间的距离（即棱长、面对角线和体对角线）都是整数的长方体。

求完美长方体的棱长，即求下列方程组之正整数解：

$a^{2}+b^{2}=d^{2}$

$b^{2}+c^{2}=f^{2}$

$c^{2}+a^{2}=e^{2}$

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=g^{2}$

注：a、b、c是棱长，d、e、f是面对角线长，g是体对角线长。

它相当于在欧拉长方体问题上再添上了最后的这个条件。

截至2015年5月，还没有找到任何完美长方体，亦未有人证明完美长方体不存在。经由电脑搜寻显示，若存在完美长方体，其中一个边长需大于3·10¹²，且最小边长需大于10¹⁰。现时只找到一些接近完美盒，例如其中一边是无理数，其他边和对角线均为整数的例子，如： 棱长分别为672、153与104，其面对角线分别为$3{\sqrt {52777}}$、680与185，体对角线为697。

另外，亦有面、体对角线均为整数，但棱长只有两个是整数，另一条是无理数的例子。如：

棱长为18720、${\sqrt {211773121}}$与7800这个例子。

完美平行六面体

一个完美平行六面体为边长、面对角线长及体对角线长皆为整数的平行六面体。平行六面体的角度不需要是整数，故完美长方体可视为完美平行六面体的特例。在2009年发现了数十个完美平行六面体的例子。

相关条目

• 欧拉长方体
• 黄金矩形

参考文献

• Durango Bill's The “Integer Brick” Problem（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Weisstein, Eric W. "Perfect Cuboid"（页面存档备份，存于互联网档案馆） From MathWorld--A Wolfram Web Resource.