Oppermann猜想
Oppermann猜想是数学上关于质数分布的一个悬而未决的问题。[1]这猜想与勒让德猜想、Andrica猜想以及布罗卡猜想等密切相关但较强。这猜想以丹麦数学家Ludvig Oppermann为名,因为他在1877年3月在一篇未出版的讲稿中提及此猜想。[2]
陈述[编辑]
这猜想指称,对于任意的x>1而言,至少有一个质数存在于x(x-1)和x^2之间,且至少有一个质数存在于x^2和x(x+1)之间。
这猜想也可等价地表述为“素数计数函数对这些区间的端点必须取不等号”,[3]也就是说,对于任意的x>1而言有:
- π(x^2-x) < π(x^2) < π(x^2+x)
其中π(x)指的是小于等于x的质数个数。
这两个区间的端点是介于两个矩形数之间的完全平方数,其中的两个矩形数是一对三角形数的两倍。两个三角形数的和是完全平方数。
后果[编辑]
若这猜想为真,那么质数间隙的大小如下:
而这也表示说在x^2和(x+1)^2之间至少有两个质数,其中之一在x^2和x(x+1)之间,另一个在x(x+1)和(x+1)^2之间,而这比勒让德猜想的此区间中至少有一个质数来得强;类似地,由于任意两个奇质数间至少有一个非质数的事实之故,因此从这猜想也可导出布罗卡猜想,而布罗卡猜想指的是说两个奇质数的平方之间,至少有四个质数;[1]不仅如此,这猜想也意味着如Andrica猜想所言的一般,两个相邻质数的最大间隙,至多只能这些数的平方根的两倍成正比。
这猜想也意味着在乌岚螺旋的每四分之一个旋转上,都至少有一个质数。
现状[编辑]
即使对小的x而言,此猜想范围内的质数数量都远超过一,这为此猜想提供了强力的证据;然而截至2024年[update]为止,这猜想都尚未得到证明。[1]
参见[编辑]
参考资料[编辑]
- ^ 1.0 1.1 1.2 Wells, David, Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math, John Wiley & Sons: 164, 2011, ISBN 9781118045718.
- ^ Oppermann, L., Om vor Kundskab om Primtallenes Mængde mellem givne Grændser, Oversigt over Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskabs Forhandlinger og Dets Medlemmers Arbejder, 1882: 169–179
- ^ Ribenboim, Paulo, The Little Book of Bigger Primes, Springer: 183, 2004, ISBN 9780387201696.