切比雪夫多項式

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切比雪夫多項式是與棣莫弗定理有關,以遞歸方式定義的一系列正交多項式序列。 通常,第一類切比雪夫多項式以符號Tn表示, 第二類切比雪夫多項式用Un表示。切比雪夫多項式 TnUn 代表 n 階多項式。

切比雪夫多項式在逼近理論中有重要的應用。這是因為第一類切比雪夫多項式的根(被稱為切比雪夫節點)可以用於多項式插值。相應的插值多項式能最大限度地降低龍格現象,並且提供多項式在連續函數的最佳一致逼近。

微分方程的研究中,切比雪夫提出切比雪夫微分方程

相應地,第一類和第二類切比雪夫多項式分別為這兩個方程的解。 這些方程是斯圖姆-劉維爾微分方程的特殊情形.

定義[編輯]

第一類切比雪夫多項式由以下遞推關係確定

也可以用母函數表示

第二類切比雪夫多項式由以下遞推關係給出

此時母函數

從三角函數定義[編輯]

切比雪夫多項式

第一類切比雪夫多項式由以下三角恆等式確定

其中 n = 0, 1, 2, 3, .... . 是關於 n次多項式,這個事實可以這麼看: 是:的實部(參見棣莫弗公式),而從左邊二項展開式可以看出實部中出現含的項中,都是偶數次的,從而可以表示成 的冪 。

用顯式來表示

儘管能經常碰到上面的表達式,但如果藉助於複函數cos(z), cosh(z)以及他們的反函數,則有

類似,第二類切比雪夫多項式滿足

以佩爾方程定義[編輯]

切比雪夫多項式可被定義為佩爾方程

在多項式環R[x] 上的解(e.g., 見 Demeyer (2007), p.70). 因此它們的表達式可通過解佩爾方程而得出:

遞歸公式[編輯]

兩類切比雪夫多項式可由以下雙重遞歸關係式中直接得出:

證明的方式是在下列三角關係式中用 代替

正交性[編輯]

TnUn 都是區間[−1,1] 上的正交多項式系.

第一類切比雪夫多項式帶權

即:

可先令x= cos(θ) 利用 Tn (cos(θ))=cos(nθ)便可證明.

類似地,第二類切比雪夫多項式帶權

即:

正交化後形成的隨機變量Wigner 半圓分布).

基本性質[編輯]

對每個非負整數 都為 次多項式。 並且當為偶(奇)數時,它們是關於 的偶(奇)函數, 在寫成關於的多項式時只有偶(奇)次項。

時, 的最高次項係數為 時係數為

最小零偏差[編輯]

,在所有最高次項係數為1的次多項式中 , 對零的偏差最小,即它是使得 上絕對值的最大值最小的多項式。 其絕對值的最大值為 , 分別在 的其他 個極值點上達到 。

兩類切比雪夫多項式間的關係[編輯]

兩類切比雪夫多項式間還有如下關係:

切比雪夫多項式是超球多項式或蓋根堡多項式的特例, 後者是雅可比多項式的特例.


切比雪夫多項式導數形式的遞推關係可以由下面的關係式推出:

例子[編輯]

前六個第一類切比雪夫多項式的圖像,其中-1¼<x<1¼, -1¼<y<1¼; 按顏色依次是T0, T1, T2, T3, T4 T5.

前幾個第一類切比雪夫多項式是

前六個第二類切比雪夫多項式的圖像,其中-1¼<x<1¼, -1¼<y<1¼; 按顏色依次是U0, U1, U2, U3, U4 U5. 雖然圖像中無法顯示,我們實際有 Un(1)=n+1 以及 Un(-1)=(n+1)(-1)n.

前幾個第二類切比雪夫多項式是

第一類切比雪夫多項式前幾階導數是

按切比雪夫多項式的展開式[編輯]

一個N 次多項式按切比雪夫多項式的展開式為如下:

多項式按切比雪夫多項式的展開可以用 Clenshaw遞推公式計算。

切比雪夫根[編輯]

兩類的n次切比雪夫多項式在區間[−1,1]上都有n 個不同的根, 稱為切比雪夫根, 有時亦稱做 切比雪夫節點英語Chebyshev nodes ,因為是多項式插值時的 插值點 . 從三角形式中可看出Tnn個根分別是:

類似地, Unn個根分別是:


參看[編輯]

參考[編輯]