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子流形

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自交的浸入子流形

數學上,流形M子流形子集S,且本身也有流形的結構,並且內含映射SM滿足特定屬性。根據具體所需的屬性,有各種不同類型的子流形。不同作者經常採用不同的定義。

形式化定義

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下面假設所有流形為Cr微分流形r ≥ 1,並且所有映射為Cr類可微。

浸入子流形

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浸入子流形,開區間的區間終點映射為箭頭。

流形M浸入子流形是流形N,帶有給定浸入f : NMf : Nf(N)是一個光滑映射,且其雅可比矩陣處處滿秩)。因此,NM中的像和N存在局域同胚。如果進一步要求N的度量和從M拉回的度量相同,則稱等度浸入子流形。

嵌入子流形

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嵌入子流形(也稱正則子流形)是浸入子流形,其浸入映射為同胚。子流形拓撲和它的像(流形M的子集S)的子集拓撲相同。

嵌入子流形也可以內蘊定義:令Mn-維流形,令k為整數,滿足0 ≤ knk-維嵌入子流形是子空間SM使得,對每個點pS,存在(UM, φ : URn)包含p滿足φ(SU)是一個k-維平面和φ(U)的交。二元組(SU, φ|SU)構成S上微分結構的圖冊

子流形在李群理論中出現頻繁,因為很多李群可以視為非退縮矩陣乘法群的子流形兼子群。

其他變種

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文獻中有其他子流形的變種定義。

屬性

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給定M的浸入子流形S,其p點的切空間可以視為pM中的線性子空間。這是因為浸入給出了一個單射

假設SM的嵌入子流形。若內含映射i : SM閉映射S也稱閉嵌入子流形。這是具有良好屬性的一類子流形。

歐幾里得空間子流形

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流形經常被定義歐幾里得空間Rn的子流形,所以這是一個非常重要的特例。根據惠特尼嵌入定理所有第二可數的光滑n-流形可以光滑地嵌入到R2n中。而且根據納什嵌入定理,所有緊緻閉流形可以等距嵌入歐幾里得空間。

參考

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