# 快樂數

2 8 → ${\displaystyle {{{2}^{2}}+{{8}^{2}}}=68}$${\displaystyle {{{6}^{2}}+{{8}^{2}}}=100}$${\displaystyle {{{{1}^{2}}+{{0}^{2}}}+{{0}^{2}}}=1}$
3 2 → ${\displaystyle {{{3}^{2}}+{{2}^{2}}}=13}$${\displaystyle {{{1}^{2}}+{{3}^{2}}}=10}$${\displaystyle {{{1}^{2}}+{{0}^{2}}}=1}$
3 7 → ${\displaystyle {{{3}^{2}}+{{7}^{2}}}=58}$${\displaystyle {{{5}^{2}}+{{8}^{2}}}=89}$${\displaystyle {{{8}^{2}}+{{9}^{2}}}=145}$${\displaystyle {{{{1}^{2}}+{{4}^{2}}}+{{5}^{2}}}=42}$${\displaystyle {{{4}^{2}}+{{2}^{2}}}=20}$${\displaystyle {{{2}^{2}}+{{0}^{2}}}=4}$${\displaystyle {{4}^{2}}=16}$${\displaystyle {{{1}^{2}}+{{6}^{2}}}=37}$${\displaystyle ......}$
5 6 → ${\displaystyle {{{5}^{2}}+{{6}^{2}}}=61}$${\displaystyle {{{6}^{2}}+{{1}^{2}}}=37}$${\displaystyle {{{3}^{2}}+{{7}^{2}}}=58}$${\displaystyle {{{5}^{2}}+{{8}^{2}}}=89}$${\displaystyle {{{8}^{2}}+{{9}^{2}}}=145}$${\displaystyle {{{{1}^{2}}+{{4}^{2}}}+{{5}^{2}}}=42}$${\displaystyle {{{4}^{2}}+{{2}^{2}}}=20}$${\displaystyle {{{2}^{2}}+{{0}^{2}}}=4}$${\displaystyle {{4}^{2}}=16}$${\displaystyle {{{1}^{2}}+{{6}^{2}}}=37}$${\displaystyle ......}$

## 快樂數表格

 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299

300以內的快樂數沒有其中一位是5，300以內的數其中有一位是5，它一定不是快樂數。

 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399

## 快樂數的因數

1 1 1 奇數 1
7 1、7 2 奇數 7
10 1、2、5、10 4 偶數 1
13 1、13 2 奇數 4
19 1、19 2 奇數 10
23 1、23 2 奇數 5
28 1、2、4、7、14、28 6 偶數 10
31 1、31 2 奇數 4
32 1、2、4、8、16、32 6 偶數 5
44 1、2、4、11、22、44 6 偶數 8
49 1、7、49 3 奇數 13
68 1、2、4、17、34、68 6 偶數 14
70 1、2、5、7、10、14、35、70 8 偶數 7
79 1、79 2 奇數 16
82 1、2、41、82 4 偶數 10
86 1、2、43、86 4 偶數 14
91 1、7、13、91 4 奇數 10
94 1、2、47、94 4 偶數 13
97 1、97 2 奇數 16
100 1、2、4、5、10、20、25、50、100 9 偶數 1
103 1、103 2 奇數 4
109 1、109 2 奇數 10
129 1、3、43、129 4 奇數 12
130 1、2、5、10、13、26、65、130 8 偶數 4
133 1、7、19、133 4 奇數 7
139 1、139 2 奇數 13
167 1、167 2 奇數 14
176 1、2、4、8、11、16、22、44、88、176 10 偶數 14
188 1、2、4、47、94、188 6 偶數 17
190 1、2、5、10、19、38、95、190 8 偶數 10
192 1、2、3、4、6、8、12、16、24、32、48、64、96、192 14 偶數 12
193 1、193 2 奇數 13
203 1、7、29、203 4 奇數 5
208 1、2、4、8、13、16、26、52、104、208 10 偶數 10
219 1、3、73、219 4 奇數 12
226 1、2、113、226 4 偶數 10
230 1、2、5、10、23、46、115、230 8 偶數 5
236 1、2、4、59、118、236 6 偶數 11
239 1、239 2 奇數 14
262 1、2、131、262 4 偶數 10
263 1、263 2 奇數 11
280 1、2、4、5、7、8、10、14、20、28、35、40、56、70、140、280 16 偶數 10
291 1、3、97、291 4 奇數 12
293 1、293 2 奇數 14

• 128以內快樂數沒有因數3、6、9等數，如果128以內的數是3的倍數等，它一定不是快樂數。
• 1000以內快樂數沒有因數9、15、18、21等數，如果1000以內的數是9的倍數等，它一定不是快樂數。
• 1000以內快樂數同樣也沒有能被25整除但不能被100整除，即尾數是（25、50或75的數），如果1000以內的數是25的倍數但不是100的倍數，它一定不是快樂數。
• 1000以內的快樂數有143個，只有7個是3的倍數，129192219291、888、912、921，機率:5%。
• 1000以內的快樂數有143個，有其中一位是5的只有12個，356365536556、563、565、566、635、653、655、656、665，機率:8%。
• 1000以內的快樂數有143個，只有3個是25的倍數，1007001000機率:2%。

## 其他進制的快樂數

• 三進制：1, 3, 9, 13, 17, 23, 25, 27, 31, 35, 37, 39, 47, 51, 53, 59, 61, 65, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 81, 85, 89, 91, 93 （OEIS數列A239320
• 五進制：1, 5, 7, 11, 19, 23, 25, 27, 33, 35, 41, 43, 49, 51, 55, 79, 81, 83, 91, 93, 95, 99 （OEIS數列A240849
• 任何進制（最小快樂數且大於1）：2, 3, 2, 5, 6, 7, 8, 3, 7, 11, 12, 13, 14, 15, 2, 17, 2, 5, 2, 21, 22, 23, 24, 5, 26, 27, 28, 3, 2, 31, 32, 33, 3, 35, 6, 31, 38, 39, 40, 13, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 7, 50, 51, 52, 31, 54, 53, 56, 57, 58, 59, 54, 61, 62, 63, 8, 65, 66, 67, 12, 69, 70, 71, 72

OEIS數列A161871

## 其他進位的不快樂數循環

• 2進位
• 每個數都是快樂數
• 3進位
• 2 → 11 → 2
在十進位中為2 → 4 → 2
• 4進位
• 每個數都是快樂數
• 5進位
• 4 → 31 →20 → 4
在十進位中為4 → 16 → 10 → 4
• 23 → 23
在十進位中為13 → 13
• 6進位
• 5 → 41 → 25 → 45 → 105 → 42 → 32 → 21 → 5
在十進位中為5 → 25 → 17 → 29 → 41 → 26 → 20 → 13 → 5
• 7進位
• 2 → 4 → 22 → 11 → 2
在十進位中為2 → 4 → 16 → 8 → 2
• 34 → 34
在十進位中為25 → 25
• 8進位
• 4 → 20 → 4
在十進位中為4 → 16 → 4
• 5 → 31 → 12 → 5
在十進位中為5 → 25 → 10 → 5
• 32 → 15 → 32
在十進位中為26 → 13 → 26
• 9進位
• 58 → 108 → 72 → 58
在十進位中為53 → 89 → 65 → 53
• 55 → 55
在十進位中為50 → 50
• 10進位
• 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4
• 11進位
• 75 → 68 → 91 → 75
在十進位中為82 → 74 → 100 → 82
• 23 → 12 → 5 → 23
在十進位中為25 → 13 → 5 → 25
• 12進位
• 22 → 8 → 54 → 35 → 2A → 88 → A8 → 118 → 56 → 51 → 22
在十進位中為26 → 8 → 64 → 41 → 34 → 104 → 128 → 164 → 66 → 61 → 26
• 21 → 5 → 21
在十進位中為25 → 5 → 25
• 13進位
• 79 → A0 → 79
在十進位中為100 → 130 → 100
• 36 → 36
在十進位中為45 → 45
• B2 → 98 → B2
在十進位中為145 → 125 → 145
• 67 → 67
在十進位中為85 → 85
• 14 → 14
在十進位中為17 → 17
• 16進位
• D → A9 → B5 → 92 → 55 → 32 → D
在十進位中為13 → 169 → 181 → 146 → 85 → 50 → 13

## 其他性質

• 快樂數加入數字0或交換的數也是快樂數，不快樂數的情況也是。例如：49是快樂數，94、4900也是快樂數；123不是快樂數，321、10203、123000也不是快樂數
• 通過檢查十進位中前一百萬個快樂數，它們的自然密度似乎約為0.15。十進位快樂數也許沒有漸近密度。快樂數的自然密度上限大於0.18577，下限小於0.1138。[1]
• 十進位不快樂數的循環只有一個，是 41637588914542204

## Python程式碼

```#ishappy number

def ishappy(n):
a = []
while n not in a:
a.append(n)
n = sum([int(x) **2 for x in str(n)])

return 'happy' if n == 1 else 'unhappy'
```

## 外部連結

1. ^ Gilmer, Justin. On the Density of Happy Numbers. Integers. 2013, 13 (2): 2. Bibcode:2011arXiv1110.3836G. .