最大模原理
外觀
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7f/Maximum_modulus_principle.png/220px-Maximum_modulus_principle.png)
在複分析中,最大模原理說明,如果 f 是一個全純函數且不是常數,那麼它的模在定義域內取不到局部最大值。
換句話說,全純函數 f 要麼是常數函數,要麼對於其定義域之內的任意點 z0,都存在任意靠近它的點 z,使得。
正規陳述
[編輯]設復值函數 f 在複平面 C 的連通開子集 D 上全純。如果存在,使得對z0的某個鄰域上的任意點 z 都有(即是模的局部最大值點),那麼函數 f 是 D 上的常數函數。
通過取倒數,可以得到等價的最小模原理:設f在有界區域D的內部全純,並連續到D的邊界上,而且沒有零點,則|f(z)|的最小值在D的邊界上取得。
另外,最大模原理可視為開映射定理的特殊情況,即非常數的全純函數把開集映為開集。若|f|在點z處取得極大值,則z的一個充分小的開鄰域的像不可能是開的。因此,f是常數。
證明概要
[編輯]利用調和函數的最大值原理
[編輯]用復變量自然對數的等式
推導出是調和函數。由於 z0 是這個函數的一個極大值,根據最大值原理,在定義域上是常數。因此,運用柯西-黎曼方程可以得到,於是f(z) 是常數函數。通過類似的論證可以得到,|f|的極小值只能在f(z)的孤立零點處取得。
物理解釋
[編輯]用熱傳導方程可以給出這個原理的一個物理解釋。由於是調和函數,所以可以看作是區域D上的穩定態熱流。假設區域D的內部取得嚴格最大值,則這一最大值點的熱量會向周圍傳導,這與穩定態是相互矛盾的。
應用
[編輯]最大模原理在複分析中有許多應用,可以用來證明:
- 代數基本定理,使用最大模原理的證明是一個基本的複分析的證明,可以在很多複分析教材中看到。
- 施瓦茨引理,在複分析中有許多推廣和應用。
- 其推廣是弗拉格門-林德洛夫原理,將結果推廣到定義域無界的函數。
- 博雷爾-卡拉西奧多里定理
參考來源
[編輯]- E.C. Titchmarsh,The Theory of Functions (2nd Ed) (1939) Oxford University Press. (See chapter 5.)
- E.D. Solomentsev, Maximum-modulus principle, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4