柯西函數方程

柯西函數方程是以下的函數方程：

f(x+y)=f(x)+f(y)\

此方程的解被稱為加性函數。

方程的解

在有理數的範圍中，可以用簡單的代數得到唯一一類的解，表示為 $f(x)=cx\$ ，其中 $c$ 任意給定的有理數。

在實數中，這個方程仍然有這一類解，然而存在著其他非常複雜的解，函數 f 經常被外加條件以排除那些複雜的解。例如：

若 f 是連續的 (由柯西於1821年證明)。這個條件在1875年被達布弱化，證明 f 只需要在一點連續。
若 f 在任一個區間上是單調的
若 f 在任一個區間上是有界的

另一方面，如果函數 f 沒有其他限制條件，那麼滿足方程的函數有無窮多個(假設選擇公理成立)。這在1905年由喬治·哈梅爾（英語：Georg Hamel）使用基的概念證明。

希爾伯特的第五個問題是這個方程的推廣。

存在實數 $c\$ 使得 $f(cx)\neq cf(x)\$ 的解稱為柯西─哈默方程（英語：Cauchy-Hamel function(s)）。在希爾伯特的第三個問題中，往高維度的推廣所用的德恩-哈德維格不變量（英語：Dehn-Hadwiger invariant(s)），其中就用到柯西-哈默方程。^[1]

在有理數集下的證明

先設 $y=0\$ ，得到：

f(x+0)=f(x)+f(0)\

f(0)=0\

再設 $y=-x\$ ：

f(x-x)=f(x)+f(-x)\

f(-x)=-f(x)\

反覆設 $y=x\$ 、 $y=2x\$ 、...、 $y=x+x+\cdots +x$ ，可以得到

f(mx)=mf(x)\

...(1)

設 $x={\frac {y}{n}}$ 並代入(1)式得到：

f\left({\frac {y}{n}}\right)={\frac {1}{n}}f(y)\

或者

f\left({\frac {x}{n}}\right)={\frac {1}{n}}f(x)\

...(2)

對於任意有理數 ${\frac {m}{n}}$ ，設 $y={\frac {m}{n}}x$ ，根據(1)、(2)兩式可知：

f\left({\frac {m}{n}}x\right)={\frac {m}{n}}f(x)\

上式又可改寫為

f\left(\alpha q\right)=qf(\alpha )\qquad \forall q\in \mathbb {Q} ,\alpha \in \mathbb {R} \

令 $\alpha =1\$ 就可以得到在有理數下的唯一解。

其他解的性質

以下的證明將顯示（若存在）線性函數以外的解，該解是相當病態的函數。我們將證明這個函數f所對應的圖形 $y=f(x)\$ 在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中稠密，亦即在平面上任何給定的圓都至少包含該圖形的一個點，我們將從這個定義著手證明。

不失一般性，假設解f滿足 $f(q)=q,\forall q\in \mathbb {Q}$ ，且能找到實數 $\alpha \in \mathbb {R}$ 滿足 $f(\alpha )\neq \alpha$ ，同時設 $f(\alpha )=\alpha +\delta ,\delta \neq 0$

任意給定一個圓，其內部必能找到一個小圓以點 $(x,y)$ 為圓心，其中滿足 $x,y\in \mathbb {Q} ,x\neq y$ 。令實數 $r>0$ 為半徑的 ${\frac {2}{\sqrt[{}]{5}}}$ 倍，即半徑為 ${\frac {{\sqrt[{}]{5}}r}{2}}$ 。

令 $\beta ={\frac {y-x}{\delta }}$ ，存在一個有理數 $b\neq 0$ 滿足：

\left|\beta -b\right|<{\frac {r}{2\left|\delta \right|}}

類似地，存在一個有理數 $a$ 使得：

\left|\alpha -a\right|<{\frac {r}{2\left|b\right|}}

設實數X,Y滿足：

X=x+b(\alpha -a)\

Y=f(X)\

從原方程和以上的關係式可以得知：

Y=f(x+b(\alpha -a))\

=f(x)+f(b\alpha )-f(ba)\

=x+bf(\alpha )-bf(a)\

=(y-\delta \beta )+b(\alpha +\delta )-ba\

=y+b(\alpha -a)-\delta (\beta -b)\

由以上關係式可知 $\left|X-x\right|<{\frac {r}{2}},\left|Y-y\right|<r$

∴ $(X,Y)\$ 在指定的小圓內，

於是 $(X,Y)\$ 在原本較大的圓內；

即在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中任意給定的圓內皆包含 $y=f(x)\$ 圖形的一點；

即 $y=f(x)\$ 的圖形在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中稠密，得證。

另一方法：如f 不是線性函數，存在 $U=(u,f(u)),V=(v,f(v))$ 在 $\mathbb {R} ^{2}$ 獨立。任取 $X\in \mathbb {R} ^{2}$ , $X=\alpha U+\beta V$ , $\alpha$ 和 $\beta$ 是有理數序列的極限, $X$ 是f 的圖形的聚點。

其他解的形式與證明

與有理數的情形使用相同的方式，可以證明線性解的證明在任意的集合 $\alpha \mathbb {Q}$ 上也成立，其中 $\alpha \in \mathbb {R}$ （表示所有有理數乘上 $\alpha \$ 的積的集合，以下亦同）
我們可以透過這點找出函數方程的所有解。但這個方式極度地不可構造，而且是以選擇公理為基礎得到的。

在承認選擇公理的前提下，在 $\mathbb {Q}$ 上存在一個 $\mathbb {R}$ 的基底，也就是這樣的集合： $A\subset \mathbb {R}$ ，使得對於任何實數 $x\$ ，存在唯一的有限集合 $\left\{a_{1},\dots ,a_{n}\right\}\subset A$ 以及唯一對應的 $n$ 個有理數 $\left\{\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\right\}$ ，滿足：