瑞利商

在數學中，瑞利商（英語：Rayleigh quotient）定義為：

$$R(M,x)={x^{*}Mx \over x^{*}x}.$$

式中，$M$為復埃爾米特矩陣，$x$為非零向量。對實矩陣和向量，對矩陣的埃爾米特矩陣要求退化為對稱矩陣，對向量的共軛轉置退化為轉置。

$R(M,cx)=R(M,x)$對所有非零純量$c$成立。

埃爾米特矩陣（或實對稱矩陣）只具有實特徵值且可對角化，由此，對於給定矩陣，其瑞利商達到最小值λ（$M$的最小特徵值）當$x$為$v_{\min }$（最小特徵值對應的特徵向量）；類似的：$R(M,x)\leq \lambda _{\max }$，$R(M,v_{\max })=\lambda _{\max }$。

瑞利商使用最小最大定理（min-max theorem）獲得所有特徵值的精確值。它還用於特徵值算法（如瑞利商迭代），從特徵向量近似值中獲得特徵值近似值。

在量子力學中，瑞利商給出了狀態為$x$的系統中算子$M$觀測值的期望值。

埃爾米特矩陣M的界

對於任意向量$x$，其瑞利商滿足$R(M,x)\in \left[\lambda _{\min },\lambda _{\max }\right]$，其中$\lambda _{\min },\lambda _{\max }$分別代表矩陣$M$的最小特徵值和最大特徵值。觀察定義可知，矩陣$M$的瑞利商等價於其特徵值的加權和：

$$R(M,x)={x^{*}Mx \over x^{*}x}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}y_{i}^{2}}{\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}}}$$

其中$(\lambda _{i},v_{i})$是第$i$個歸一化後的特徵值-特徵向量對，$y_{i}=v_{i}^{*}x$是$x$在特徵基中的第$i$個坐標。可以驗證，當$x$為矩陣$M$最小（最大）特徵值對應的特徵向量$v_{\min }$（$v_{\max }$）時，$R(M,x)$取值達到其下（上）界。