在数学中,瑞利商(英語:Rayleigh quotient)定义为:[1][2]
式中,
为复埃尔米特矩阵,
为非零向量。对实矩阵和向量,对矩阵的埃尔米特矩阵要求退化为对称矩阵,对向量的共轭转置退化为转置。
对所有非零标量
成立。
埃尔米特矩阵(或实对称矩阵)只具有实特征值且可对角化,由此,对于给定矩阵,其瑞利商达到最小值λ(
的最小特征值)当
为
(最小特征值对应的特征向量);类似的:
,
。[2]
瑞利商使用最小最大定理(min-max theorem)获得所有特征值的精确值。它还用于特征值算法(如瑞利商迭代),从特征向量近似值中获得特征值近似值。
在量子力学中,瑞利商给出了状态为
的系统中算子
观测值的期望值。
对于任意向量
,其瑞利商满足
,其中
分别代表矩阵
的最小特征值和最大特征值。观察定义可知,矩阵
的瑞利商等价于其特征值的加权和:
其中
是第
个归一化后的特征值-特征向量对,
是
在特征基中的第
个坐标。可以验证,当
为矩阵
最小(最大)特征值对应的特征向量
(
)时,
取值达到其下(上)界。