祖暅原理
祖
該原理最早由中國古代數學家劉徽提出[1]。南北朝時祖沖之兒子祖暅再次提出[3],兩父子用這原理求出牟合方蓋體積,進而算出球體積。17世紀歐洲義大利數學家卡瓦列里亦發現相同定理,所以西方文獻一般稱該原理為卡瓦列里原理[3][4]。
在現代的解析幾何和測度應用中,祖暅原理是富比尼定理的一個特例。卡瓦列里沒有對這條的嚴謹證明,只發表在1635年的Geometria indivisibilibus以及1647年的Exercitationes Geometricae,用以證明自己的Methode der Indivisibilien。以此方式可以計算某些立體的體積,甚至超越了阿基米德和克卜勒的成績。這定理引發了以面積計算體積的方法並成了積分發展的重要一步。
簡單應用
[編輯]圓柱體
[編輯]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e1/Cylinder_geometry.svg/100px-Cylinder_geometry.svg.png)
如果垂直轉軸切開圓柱體,設r為半徑,可得到橫切面積為的圓。根據祖暅原理,圓柱體積相等於底面積相等於圓面積、高h的長方體,所以半徑r和高h的圓柱體積是。
半球體
[編輯]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0c/Cavalieri_half-ball.svg/220px-Cavalieri_half-ball.svg.png)
從其中一層以垂直表面的高h橫切半徑為r的半球體,根據勾股定理,半徑為
所以橫切面積是
對照立體是個有與半球體相同橫切面積和高的立體,中間有一圓錐體。高h的對照立體環形切面有內圓周h及外圓周r,其面積為
因此兩個立體都滿足祖暅原理並有相同體積。對照立體的體積就是圓柱體和圓錐體體積之差,所以
成功利用這條有名的方程計出半球體積,從而導出球體積公式。
微積分
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祖暅原理背後概念常在微積分出現。作為維度的一個例子,因此兩條方程在兩交點間的面積可用以下方程獲得:
實質上表示了函數f和g間的面積與函數圖形下的相同,而後者的交點距離與前者相等。由於現代數學的積分和面積的互相關係,而體積可以微分計算,使祖暅原理變得更少用。
參考文獻
[編輯]- (英文) 伽利略計劃:卡瓦列里 (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)
- (英文) http://mathworld.wolfram.com/CavalierisPrinciple.html (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)