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迪尼定理

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在數學中,迪尼定理敘述如下:設 X 是一個緊致拓撲空間X 上的一個單調遞增連續實值函數列(即使得對任意 nX 中的任意 x 都有)。如果這個函數列逐點收斂到一個連續的函數 f ,那麼這個函數列一致收斂f 。這個定理以義大利數學家烏利塞·迪尼命名。

對於單調遞減的函數列,定理同樣成立。這個定理是少數的由逐點收斂可推出一致收斂的例子之一,原因是由單調性這個更強的條件。

注意定理中的 f 一定要是連續的,否則可以構造反例。比如說在區間 [0,1] 上的函數列 {xn}。這是一個單調遞減函數,逐點收斂到函數 f :當 x 屬於 [0,1) 時f(x) 等於 0 ,f(1) 等於 1。但這個函數列不是一致收斂的,因為 f 不連續。

證明

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我們對單調遞增的函數列作證明:對於任意 ,對每個 n ,設 再設為使得。顯然每個 都連續,於是每個 都是開集(在拓撲空間中,連續函數被定義為使得開集的原像都是開集的函數,可以證明這種定義和一般的連續定義是等價的,而是正實數集中的開集)。函數列{} 是單調遞減的,因此 的子集。又由於 逐點收斂f ,所有() 的並集X 的一個開覆蓋。但是 X 是一個緊集於是存在正整數 N 使得。因此對所有 ,對所有的 ,都有 ,於是{} 一致收斂f

參見

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