迪尼定理

在數學中，迪尼定理敘述如下：設 X 是一個緊致的拓撲空間， $\scriptstyle f_{n}(x)$ 是 X 上的一個單調遞增的連續實值函數列（即使得對任意 n 和 X 中的任意 x 都有 $\scriptstyle f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)$ ）。如果這個函數列逐點收斂到一個連續的函數 f ，那麼這個函數列一致收斂到 f 。這個定理以義大利數學家烏利塞·迪尼命名。

對於單調遞減的函數列，定理同樣成立。這個定理是少數的由逐點收斂可推出一致收斂的例子之一，原因是由單調性這個更強的條件。

注意定理中的 f 一定要是連續的，否則可以構造反例。比如說在區間 [0,1] 上的函數列 {xⁿ}。這是一個單調遞減函數，逐點收斂到函數 f ：當 x 屬於 [0,1) 時f(x) 等於 0 ，f(1) 等於 1。但這個函數列不是一致收斂的，因為 f 不連續。

證明

我們對單調遞增的函數列作證明：對於任意 $\varepsilon >0$ ，對每個 n ，設 $\ g_{n}=f-f_{n}$ 再設 $\ E_{n}$ 為使得 $\ g_{n}(x)<\varepsilon .$ 的 $x\in X$ 。顯然每個 $g_{n}$ 都連續，於是每個 $E_{n}$ 都是開集（在拓撲空間中，連續函數被定義為使得開集的原像都是開集的函數，可以證明這種定義和一般的連續定義是等價的，而 $[0,\varepsilon )$ 是正實數集中的開集）。函數列{ $g_{n}$ } 是單調遞減的，因此 $E_{n}$ 是 $E_{n+1}$ 的子集。又由於 $\ f_{n}$ 逐點收斂到 f ，所有（ $E_{n}$ ）的並集是 X 的一個開覆蓋。但是 X 是一個緊集於是存在正整數 N 使得 $E_{N}=X$ 。因此對所有 $n>N$ ，對所有的 $x\in X$ ，都有 $0<g_{n}(x)=f(x)-f_{n}(x)<\varepsilon$ ，於是{ $f_{n}$ } 一致收斂於 f 。

參見