退化雙線性形式
外觀
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對於一個在體 F ,向量空間 V 中,V × V → F 的雙線性形式B,如果V中存在一些非零的向量使得對於任意有
- 則稱B是一個退化雙線性形式。
非退化雙線性形式
[編輯]如果B是一個雙線性形式,但不是退化雙線性形式,則B是一個非退化雙線性形式。這意味著如果對於任意有
則 。
非退化雙線性形式常見的例子是內積和辛形式。對稱的非退化雙線性形式是內積的推廣,它只要求映射是同構的,而不要求非負。例如,在其切空間上具有內積結構的流形是一個黎曼流形,而將條件放寬到對稱的非退化雙線性形式時,則只是一個偽黎曼流形。
行列式
[編輯]如果V是有限維的,而B是一個雙線性形式,則考慮V 的一組基底,定義矩陣A為
則B是退化雙線性形式若且唯若矩陣A的行列式為零 – 也就是A是不可逆矩陣。