形式冪級數

形式冪級數(formal power series)是一個數學中的抽象概念，是從冪級數中抽離出來的代數物件。形式冪級數和從多項式中剝離出來的多項式環類似，不過允許（可數）無窮多項因子相加，但不像冪級數一般要求研究是否收斂和是否有確定的取值。形式冪級數在代數和組合理論中有廣泛應用。

簡介

形式冪級數和多項式的形式定義有類似之處。對於熟悉冪級數的讀者，也可以將其看作是不討論冪級數斂散性，也就是將其中的不定元僅僅看作是一個代數物件，而不是任何具體數值的時候寫出的冪級數。舉例來說，以下的級數式子：

$A=1-3X+5X^{2}-7X^{3}+9X^{4}-11X^{5}+\cdots .$

如果我們把它當成冪級數來研究的話，重點會放在它的收斂半徑等於1、其對應的冪級數函數是否滿足某些性質等等。但作為形式冪級數來研究時，我們關注的是它本身的結構。我們甚至可以把它簡寫為：$[1,-3,5,-7,9,\cdots ]$這樣，只關注它的係數。我們完全可以考慮各種係數的形式冪級數。比如說係數為階乘的形式冪級數：$[1,1,2,6,24,120,,\cdots ]$，即使說它對應的冪級數：

$A=1+X+2X^{2}+6X^{3}+24X^{4}+120X^{5}+\cdots .$

在$X$取任何的非零實數值時都不收斂，我們仍然可以將其作為形式冪級數進行運算。

和多項式環中的元素一樣，形式冪級數之間也可以做加減和乘法的運算，具體的計算方式和多項式環一樣。比如說設：

$B=2X+4X^{3}+6X^{5}+8X^{7}+\cdots .$

那麼$A$與$B$的和就是：

$A+B=1+3X+2X^{2}+10X^{3}+24X^{4}+126X^{5}+\cdots .$

$AB=2X-6X^{2}+14X^{3}-26X^{4}+44X^{5}+\cdots .$

其中$A+B$裡面$X^{3}$的係數就是$A$與$B$中$X^{3}$的係數的和；$AB$裡面$X^{5}$的係數就是$A$與$B$中$X$的階數相加等於5的項的係數乘積的和：

$44X^{5}=(1\times 6X^{5})+(5X^{2}\times 4X^{3})+(9X^{4}\times 2X).$

對每個確定的階數$n$，這個計算是有限項（至多$n+1$項）的相加，所以在計算形式冪級數的加減法和乘法的時候，不需要像在對冪級數進行計算時一樣，考慮諸如是否絕對收斂、條件收斂或是均勻收斂的問題。另外，如多項式的形式運算一樣，形式冪級數也滿足加法的交換律、加法的結合律、乘法的交換律、乘法的結合律以及乘法對加法的分配律。

形式冪級數不僅能夠定義乘法，也能定義乘法逆的運算。一個形式冪級數$A$的逆是指另一個形式冪級數$C$，使得$AC=1$. 如果這樣的形式冪級數$C$存在，就是唯一的，將其記為$A^{-1}$。同時我們也可以定義形式冪級數的除法：當$A$的逆存在時，$B/A=B\cdot A^{-1}.$ 比如說，可以很容易驗證：

${\frac {1}{1+X}}=1-X+X^{2}-X^{3}+X^{4}-X^{5}+\cdots .$

形式冪級數上的一個重要映射是係數的提取操作：將一個形式冪級數映射到它的$X^{n}$的係數。這個操作常常記作$[X^{n}]$，比如說對形式冪級數$A=1-3X+5X^{2}-7X^{3}+9X^{4}-11X^{5}+\cdots .$，就有：

$[X^{5}]A=-11$

對以上定義的形式冪級數$B$，也有：$[X^{3}]B=4$。又比如：$[X^{2}](X+3X^{2}Y^{3}+10Y^{6})=3Y^{3}$，$[X^{2}Y^{3}](X+3X^{2}Y^{3}+10Y^{6})=3$。提取映射和多項式環中的對應映射一樣，都可以看做是到一個子空間的投影映射。

形式冪級數的環結構

所有的不定元為$X$，係數為某一個交換環$R$上元素的形式冪級數構成一個環，稱為$R$上變量為$X$的形式冪級數環，記作$R[[X]]$。

定義

$R[[X]]$可以定義為$R$上變量為$X$的多項式環完備化（對於特定的度量）後得到的。這個定義自然就賦予了$R[[X]]$以拓撲環的結構（同時也賦予了完備度量空間的結構）。不過空間完備化所需要的步驟過於繁瑣，而建構$R[[X]]$所需要的並沒有那麼多。以下將對$R[[X]]$的環結構和拓撲結構分別定義，更為明晰，容易理解。

環結構

首先可以定義集合$R[[X]]$的範圍。作為一個集合，$R[[X]]$可以用和$R^{\mathbb {N} }$一樣的方法構造。$R^{\mathbb {N} }$是所有$R$上元素構成的數列$(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$的集合：

$R^{\mathbb {N} }=\{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} },\,\,\,\forall n\in \mathbb {N} ,\,a_{n}\in R\}.$

$R^{\mathbb {N} }$中的元素可以定義加法和乘法：

$(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }+(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }=\left(a_{n}+b_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$

$(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\times (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }=\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}\right)_{n\in \mathbb {N} }.$

其中乘法的定義方法也叫做求兩個數列的係數的柯西乘積，也是一種摺積。可以證明，在以上的定義下，$R^{\mathbb {N} }$是一個交換環。環的加法零元素是$(0,0,0,...)$，乘法單位元素是$(1,0,0,...)$。於是我們可以將$R$中的元素嵌入到$R^{\mathbb {N} }$之中，

$x\in R\,\,\mapsto \,(x,0,0,...)$

並將$(0,1,0,0,...)$映射到不定元$X$，這樣通過以上定義的加法和乘法就可以將$R^{\mathbb {N} }$中的有限非零元素元素同構為：

$(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},0,0,\ldots )\mapsto a_{0}+a_{1}X+\cdots +a_{n}X^{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}$

這樣的結構和多項式環是一樣的。所以對於更一般的$R^{\mathbb {N} }$中元素$(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$，就可以自然地希望將其對應到$\sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}$：

但這個對應方式並不能通過有限項的加法和乘法得到，所以需要用一個約定上的映射$\varphi :\,R^{\mathbb {N} }\rightarrow R[[X]]$來做到：

$(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},\ldots )\mapsto \varphi (a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},\ldots )=a_{0}+a_{1}X+\cdots +a_{n}X^{n}+\cdots =\sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}$

這個映射涵蓋了之前的多項式的定義，並且可以定義

$\left(\sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}\right)+\left(\sum _{i\in \mathbb {N} }b_{i}X^{i}\right)=\sum _{n\in \mathbb {N} }\left(a_{n}+b_{n}\right)X^{n}.$

以及

$\left(\sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}\right)\times \left(\sum _{i\in \mathbb {N} }b_{i}X^{i}\right)=\sum _{n\in \mathbb {N} }\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}\right)X^{n}.$

這個定義使得$\varphi$是一個同態，所以$R[[X]]$也是一個交換環。

拓撲結構

以上的定義中建立了映射

$\varphi (a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}X^{i},\qquad (1)$

但需要注意的是這裡的定義中$\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}X^{i}$還是一個符號性的物件，因為我們並沒有定義其中無限求和符號的意義。為了更好地定義$\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}X^{i}$本身，我們需要引入拓撲的結構，將其作為極限來嚴格地說明。需要注意的是，適合的拓撲結構不止一個。

• 我們可以在$R$上定義離散拓撲的結構，然後將$R^{\mathbb {N} }$作為可數個$R$的積空間，將其上的拓撲定義為積拓撲。
• 我們也可以直接在$R^{\mathbb {N} }$上定義類似於p進數拓撲的$I$進拓撲，其中的$I=(X)$是環結構中由$X$生成的理想，也就是由所有$\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}X^{i}$形式的形式冪級數構成的集合。
• 對不熟悉一般的點集拓撲學的讀者，也可以建立一個具體的度量（也就是定義「距離」）來定義拓撲。比如定義兩個數列$a=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$和$b=(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$的距離：

  $d(a,b)={\begin{cases}2^{-\omega (a-b)}&\quad a-b\neq 0\\0&\quad a-b=0\end{cases}}$

其中$\omega (s)$表示數列$s=(s_{n})_{n\in \mathbb {N} }$中第一個不等於0的係數的下標。這樣的定義之下，我們說兩個數列如果越來越「接近」，那麼第一個係數不同的地方會出現的越晚，也就是說它們的距離也越小。對一個數列$a=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$，定義部分和數列為：

$s_{k}=(a_{0},a_{1},\ldots ,a_{k},0,0,\ldots )$

那麼部分和$s_{k}$和$a$的距離就會是$2^{-(k+1)}$，所以$k$趨於無窮大的時候，部分和數列和$a$的距離趨於0. 這樣，在定義了有限項非零元素的數列和多項式的關係以後，就可以將任意的數列定義為部分和數列的極限。

$(a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )=\lim _{k\to \infty }s_{k}$

然後對形式冪級數也定義類似的距離：

$d'(\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}X^{i},\sum _{i=0}^{\infty }b_{i}X^{i})={\begin{cases}2^{-\omega '},\,\,\omega '=\min _{n}\{a_{n}\neq b_{n}\}&\quad \exists a_{n}\neq b_{n}\\0&\quad \forall n,\,\,a_{n}=b_{n}\end{cases}}$

然後形式冪級數也就滿足：

$\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}X^{i}=:\varphi (a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )=\lim _{k\to \infty }\varphi (s_{k})=\lim _{k\to \infty }\sum _{i=0}^{k}a_{i}X^{i}$

並且可以驗證加法、乘法的交換律和結合律，以及乘法對加法的分配律。於是我們定義出了一個同構於$R^{\mathbb {N} }$的拓撲環，將其稱為$R$上的形式冪級數環$R[[X]]$。

參考來源

• Nicolas Bourbaki: Algebra, IV, §4. Springer-Verlag 1988.