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伴随丛

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数学中,伴随丛adjoint bundle)是一个自然相配于任何主丛向量丛。伴随丛的纤维带有李代数结构使得伴随丛成为一个代数丛。伴随丛在联络理论以及规范理论中都有重要的应用。

形式定义

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G 是一个李群李代数,并设 P光滑流形 M 上一个G。令

G伴随表示P伴随丛配丛

伴随丛通常也记做 。具体地,伴随丛的元素是二元组 [p,x] 的等价类,其中 pPx 使得

对所有 gG。因为伴随丛的结构群由李代数的自同构组成,纤维自然带有一个李代数结构使得伴随丛成为 M 上一个李代数丛。

性质

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M 上取值于 AdP微分形式一一对应于 P水平 G-等变李代数值形式。一个基本例子是 P 上任何联络曲率可以视为 M 上取值于 ADP 的 2-形式。

伴随丛截面的空间自然是一个(无穷维)李代数。它可以视为 P规范变换无穷维李群的李代数,它能想象为丛 P ×Ψ G 的截面,这里 Ψ 是 G 在自身上的共轭作用