在交換代數中,Tor 函子是張量積的導函子。此函子起初是為了表述代數拓撲中的 Künneth 定理與普遍係數定理而定義。
設 為環。令 為左 -模範疇、 為右 -模範疇(若 為交換環,則兩者等價)。固定一對象 ,考慮函子
這是從 至阿貝爾群範疇 的右正合函子(若 為交換環,則它是映至 的右正合函子),因此能考慮其左導函子 ,記為 。
換言之,對任一左 -模 取射影分解
去掉尾項 ,並對 取張量積,得到鏈複形
並取其同調群,則得到
此外,Tor 函子也能以 的左導函子定義,兩種定義給出自然同構的函子。
- 對任何 , 是從 到 的加法函子。若 是交換環,則它是從 到 的加法函子。
- 依據導函子性質,每個短正合序列 導出長正合序列:
- 對第二個變數亦同。
- 若 為交換環, 非零因子,則
- 這是 Tor 函子的詞源。
- 由於阿貝爾群皆有長度不超過二的自由分解(因為自由阿貝爾群的子群皆為自由的),此時對所有 ,有 。
設 為交換環, 為 -模,並固定一個環同態 。我們有雙函子的自然同構:
由此導出格羅滕迪克譜序列:對任何 -模 ,有譜序列
一個右 -模是平坦模的充要條件是 。此時可推出 。左 -模的情況準此可知。事實上,計算 Tor 函子時可以用平坦分解代替射影分解;凡射影分解必為平坦分解,反之則不然;平坦分解在技術上較富彈性。
- Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge University Press. ISBN 0-521-55987-1