隐函数定理

在数学中，隐函数定理是一个描述关系以隐函数表示的某些变量之间是否存在显式关系的定理。隐函数定理说明，对于一个由关系$R(x,y)=0$表示的隐函数，如果它在某一点附近的微分满足某些条件，则在这点附近，$y$可以表示成关于$x$的函数：

$y=f(x)$

这样就把隐函数关系变成了常见的函数关系。

例子

定义了函数$f(x,y)=x^{2}+y^{2}$之后，单位圆就可以写成满足$f(x,y)=1$的点的集合。在圆上的每一点，比如点A上，y都可以表示成关于x的函数$y(x)={\sqrt {1-x^{2}}}$,除了点B以外。

定义函数$f(x,y)=x^{2}+y^{2}$，那么方程$f(x,y)=1$的所有解的集合构成单位圆（$\{(x,y)|f(x,y)=1\}=\{(x,y)|x^{2}+y^{2}=1\}$）。圆上的点是无法用统一的方法表示成$y=g(x)$的形式的，因为每个$x\in (-1,1),$都有两个$y$的值与之对应，即$\pm {\sqrt {1-x^{2}}}$。

然而，局部地用$x$来表示$y$是可以的。给定圆上一点$(x,y)$，如果$y>0$，也就是说这点在圆的上半部分的话，在这一点附近$y$可以写成关于$x$的函数：$y={\sqrt {1-x^{2}}}$。如果$y<0$，附近的$y$也可以写成关于$x$的函数：$y=-{\sqrt {1-x^{2}}}$。

但是，在点$(1,0)$的附近，$y$无法写成关于$x$的函数，因为$(1,0)$的每一个邻域中都包含了上半圆和下半圆的点，于是对于附近的每一个$x$，都有两个$y$的值与之对应。

定理的叙述：欧几里得空间的情况

设f : R^n+m → R^m为一个连续可微函数。这里R^n+m被看作是两个空间的直积：Rⁿ×R^m，于是R^n+m中的一个元素写成 (x,y) = (x₁, ..., x_n, y₁, ..., y_m)的形式。

对于任意一点(a,b) = (a₁, ..., a_n, b₁, ..., b_m)使得f(a, b) = 0，隐函数定理给出了能否在(a,b)附近定义一个y关于x的函数g，使得只要：f(x,y)=0，就有y = g( x )的充分条件。这样的函数g存在的话，严格来说，就是说存在a和b的邻域U和V，使得g的定义域是：g : U → V，并且g的函数图像满足：

$\{(\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ))\mid \mathbf {x} \in U\}=\{(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\in U\times V\mid f(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=0\}.$

隐函数定理说明，要使的这样的函数g存在，函数$f$的雅可比矩阵一定要满足一定的性质。对于给定的一点 (a,b)，$f$的雅可比矩阵写作：

$(Df)(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\left[{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\end{matrix}}\right]=[X|Y]$

其中的矩阵$X$是$f$关于$x$的偏微分，而$Y$是$f$关于$y$的偏微分。隐函数定理说明了：如果$Y$是一个可逆的矩阵的话，那么满足前面性质的$U$、$V$和函数$g$就会存在。概括地写出来，就是：

设f : R^n+m → R^m为连续可微函数，并令R^n+m中的坐标记为 (x, y)。给定一点 (a₁,...,a_n,b₁,...,b_m) = (a,b)使得f(a,b)=c，其中c∈ R^m。如果矩阵[(∂f_i/∂y_j)(a,b)]是可逆矩阵的话，那么存在a的邻域U、b的邻域V以及同样是连续可微的函数g:U → V，满足

$\{(\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ))\}=\{(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )|f(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mathbf {c} \}\cap (U\times V).$

一般情形

设$E_{1}$、$E_{2}$和$F$是三个巴拿赫空间，而$U$、$V$分别是$E_{1}$、$E_{2}$上的两个开集。设函数：

$f:U\times V\rightarrow F$

是一个$C^{k}$的函数（见光滑函数），其中$k\geq 1$，并且对于$E_{1}\times E_{2}$中的一点$(x_{0},y_{0})$，满足：

$f(x_{0},y_{0})=0$，$D_{y}f(x_{0},y_{0})\neq 0$

那么有如下结论：

• 存在$x_{0}$的邻域$U_{0}\subset U$以及$y_{0}$的邻域$V_{0}\subset V$；
• 存在一个$C^{k}$的函数：$\varphi :U_{0}\rightarrow V_{0}$，使得对任意$(x,y)\in U_{0}\times V_{0}$，只要$f(x,y)=0$，就有

$y=\varphi (x)$。

参见

• 反函数定理
• 不动点定理
• 压缩映射定理
• 微分

参考来源

• （英文）Arne Hallam. The implicite function theorem (PDF). Iowa State University. 
• Chiang, Alpha C. Fundamental Methods of Mathematical Economics 3rd. McGraw-Hill. 1984. 

• Danilov, V.I., Implicit function (in algebraic geometry), Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .

• Edwards, Charles Henry. Advanced Calculus of Several Variables. Mineola, New York: Dover Publications. 1994 [1973]. ISBN 978-0-486-68336-2. 

• Fritzsche, K.; Grauert, H. From Holomorphic Functions to Complex Manifolds. Springer. 2002. 

• Jittorntrum, K. An Implicit Function Theorem. Journal of Optimization Theory and Applications. 1978, 25 (4). doi:10.1007/BF00933522. 

• Kudryavtsev, Lev Dmitrievich, Implicit function, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .

• Kumagai, S. An implicit function theorem: Comment. Journal of Optimization Theory and Applications. 1980, 31 (2). doi:10.1007/BF00934117. 

• Lang, Serge. Fundamentals of Differential Geometry. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer. 1999. ISBN 978-0-387-98593-0.