测量平差

以平面三角形为例，由于测量误差的存在，对三个角度进行多次测量后，得到的各角度观测值内角和并不等于180°，此时需要进行平差以求得各角度的最佳估计值

测量学中的测量平差是指依据某类最优化准则对带有观测误差的测量数据进行调整，以求得测量对象的最佳估计值的理论和方法，又简称为平差（德語：Ausgleichsrechnung）。测量平差的问题来源于测量过程中的多余观测。受到测量误差的影响，通过多余观测得到的测量值必然无法精确满足测量对象之间应存在的数学关系，这些测量值之间的不一致性被称为不符值或闭合差。包含多余观测的观测值在数学上组成了一个无精确解的超定系统，但根据所选取的最优化准则，可以从该系统中求得一个符合该准则的近似解。

测量平差的基本任务即是处理观测值之间的不符值，并依据选取的最优化准则，求得观测量的最佳估计值，并对其精度进行评定。由于经典的测量平差方法通常选取最小二乘准则作为最优化准则，这类经典的平差方法也被称为最小二乘平差。依据经典测量平差求得的估计值是测量对象的最优线性无偏估计。

函数模型

平差的函数模型是描述观测量与未知量之间的数学关系的模型，这些数学关系即可是几何关系，也可是物理关系。例如，大地测量中的测量控制网和摄影测量中的共线方程描述的是几何关系，而在重力测量、卫星定轨或是形变监测中使用的模型描述的则是物理关系。函数模型中的观测量在实际的观测过程中确定，而未知量可根据模型的需要进行选取，测量平差的目的即是对这些未知量做出最优估计。

观测量

函数模型的观测量指经测量得到的测量对象的测量值，可分为必要观测量和多余观测量。

必要观测量

必要观测量是唯一确定函数模型所需要的观测量，与实际观测量无关。必要观测量的数目即为必要观测数。以平面三角形为例，唯一确定其形状需要两个角度观测量，必要观测数为2；而唯一确定其形状和大小则需要两个角度及一条边长、一个角度及两条边长，或是三条边长的观测量，必要观测数为3。必要观测量之间相互独立。

平差模型中的总观测数 $n$ 与必要观测数 $t$ 之间必须满足 $t\geq n$ ，才能保证该模型满秩，平差模型有解。

多余观测量

多余观测量则是在必要观测以外进行额外观测得到的观测量，其数目 $r$ 由总观测数 $n$ 和必要观测数 $t$ 确定：

$r=n-t$

多余观测量需要源于对测量结果的检核。如果必要观测数与总观测数相等即 $t=n$，则该平差模型可以被观测量唯一确定，观测量中存在的误差对最终结果的影响无法被消除。通过额外进行 $r$ 次多余观测，可以列出 $r$ 条表示观测量之间应满足的函数关系的条件方程，从而对观测量进行检核。多余观测量的个数 $r$ 即多余观测数，也称为自由度或冗余度（英語：Redundancy）。

未知量

函数模型的未知量通常特指模型的待求参数。其与观测量的区别在于，这些未知量既可以是被直接观测的对象（例如上述的角度和边长），亦可以是对观测量产生影响的因素（例如几何图形中点的坐标）。将观测量表达成未知量的函数的方程即为观测方程。函数模型中未知量（参数）的数目 $u$ 与必要观测量的数目 $t$ 之间的数量关系与函数模型的类型一一对应：

• 当 $u=0$ 时，函数模型中只存在表达观测量间约束关系的条件方程，此时的平差方法为条件平差
• 当 $0<u<t$ 时，除了表达观测量之间约束关系的条件方程外，还需在函数模型中增设 $u$ 条对参数作出约束的条件方程，此时的平差方法为附有参数的条件平差
• 当 $u=t$ 时，函数模型中的所有观测量都可通过 $u$ 个相互独立的参数所组成的观测方程进行表达，此时的平差方法为间接平差
• 当 $u>t$ 时，除了 $u$ 个相互独立的参数，函数模型中还存在 $s=u-t$ 个可表达为其他参数的函数的多余参数，因此需增设 $s$ 个条件方程对其进行约束，此时的平差方法为附有限制条件的间接平差

条件方程

由两个已知点（$A$、$B$）和两个未知点（$C$、$D$）组成的测角三角网，共观测了 $a_{i}$ 、$b_{i}$ 和 $c_{i}$ 等九个角度

测量平差中的条件方程是指描述各观测量之间，以及各观测量与参数之间应当满足的数学关系的方程式。若以 ${\hat {L}}$ 表示经测量得到的观测量的理论值，${\hat {X}}$ 表示选取的参数的理论值，则条件方程的数学形式可统一成：

$\operatorname {F} ({\hat {L}},{\hat {X}})=0$

特别地，当平差模型中没有另选参数时，条件方程的形式化为 $\operatorname {F} ({\hat {L}})=0$；而当条件方程仅表示对参数的约束条件，方程当中没有观测量时，条件方程的形式化为 $\operatorname {\Phi } ({\hat {X}})=0$，被特称为约束条件方程或限制条件方程。

由三个未知点（$A$、$B$ 和 $C$）组成的测角三角形，共观测了 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$ 和 $\delta$ 四个角度

几何图形的条件方程

在大地测量中，条件方程选取的依据通常是观测量之间的几何关系。以右图的平面测角三角网为例，其被测量的 $a_{i}$ 、$b_{i}$ 和 $c_{i}$ 等九个角度需要满足内角和条件、圆周条件和边长条件三类条件方程。 内角和条件指同一三角形内观测的三个内角之和的理论值之和应等于180度，即 ${\hat {a}}_{i}+{\hat {b}}_{i}+{\hat {c}}_{i}-180^{\circ }=0$ ；圆周条件指在中间点 $D$ 处观测的三个角度 $c_{1}$、$c_{2}$ 和 $c_{3}$ 的理论值之和应等于360度，即 ${\hat {c}}_{1}+{\hat {c}}_{2}+{\hat {c}}_{3}-360^{\circ }=0$；边长条件指经由不同方式求得的同一条边的长度理论值应当相等，以正弦定理为例，边长 ${\overline {CD}}$ 可以由已知边长 ${\overline {AB}}$ 通过两种方式求得：

${\overline {CD}}={\overline {AB}}{\frac {\sin {{\hat {a}}_{1}}}{\sin {{\hat {c}}_{1}}}}{\frac {\sin {{\hat {a}}_{2}}}{\sin {{\hat {b}}_{2}}}}={\overline {AB}}{\frac {\sin {{\hat {b}}_{1}}}{\sin {{\hat {c}}_{1}}}}{\frac {\sin {{\hat {b}}_{3}}}{\sin {{\hat {a}}_{3}}}}$

消去作为系数的已知边长 ${\overline {AB}}$，边长条件的条件方程可仅通过角度观测量列得：

${\frac {\sin {{\hat {a}}_{1}}}{\sin {{\hat {b}}_{1}}}}{\frac {\sin {{\hat {a}}_{2}}}{\sin {{\hat {b}}_{2}}}}{\frac {\sin {{\hat {a}}_{3}}}{\sin {{\hat {b}}_{3}}}}-1=0$

若是以上图中的平面测角三角形为例，选取 $\angle {BAC}$ （即角 $\alpha$ 所对应的观测对象）作为参数 $X$，则除了上述的图形条件和圆周条件之外，该图形中亦可列出附有参数的条件方程，如

${\hat {\beta }}+{\hat {\gamma }}+{\hat {X}}-180^{\circ }=0$

观测方程

测量平差中的观测方程是指将观测量表达为参数的函数的方程式，其数学形式可统一成：

${\hat {L}}=\operatorname {F} ({\hat {X}})$

在观测方程中，观测量和参数分别列于等号的两侧，且每一个观测量都对应一条观测方程。相较于条件方程，观测方程无需考虑观测量之间应满足的数学关系，更为简单且便于电算。

将观测量与参数分别在测量值 $L$ 和参数近似值 $X^{0}$ 处以泰勒公式进行線性化，即取

${\hat {L}}=L+V$

$\operatorname {F} ({\hat {X}})=B{\hat {X}}+d=B(X^{0}+{\hat {x}})+d$

可得到表达观测量改正数 $V$ 与 参数改正数 ${\hat {x}}$ 之间的关系的方程式，即误差方程：

$V=B{\hat {x}}-l$

式中，$B$ 称为设计矩阵或量测梯度矩阵，是函数关系 $\operatorname {F} (X)$ 对参数的偏导数；$d$ 和 $l$ 是常数项，且有

$l=L-(BX^{0}+d)=L-L^{0}$

类似地，$L^{0}=BX^{0}+d$ 为观测值的近似值，因此 $l$ 与测量值 $L$ 仅相差一个常数，其精度与测量值相同，因此 $l$ 也被称为约化观测量。

条件平差方法

条件平差是以仅包含观测量的条件方程作为函数模型的平差方法，方程中包含 $r$ 个多余观测量。

条件平差的基础方程

条件平差的函数模型为 $\operatorname {F} ({\hat {L}})=0$，对其进行线性化，得

$A{\hat {L}}+A_{0}=0$

又 ${\hat {L}}=L+V$，因此取闭合差为 $W=AL+A_{0}$，将上式表述为观测值改正数 $V$ 与观测值闭合差 $W$ 之间的关系式：

$AV+W=0$

式中 ${\underset {r\times n}{A}}$ 包含 $r$ 个方程和 $n$ 个待解改正数，又 $r<n$，函数模型没有惟一解。因此，需最小二乘准则 $V^{T}PV=\min$ 对函数模型添加约束条件。其中 ${\underset {n\times n}{P}}$ 是观测量的权阵，$D=\sigma _{0}^{2}Q=\sigma _{0}^{2}P^{-1}$ 是条件平差的随机模型。

以拉格朗日乘数法对最小二乘准则进行求解，设乘数即联系数为 $K$，组成拉格朗日函数

$\Phi =V^{T}PV-2K^{T}(AV+W)$

当取条件极值 $\Phi =\min$ 时，应有

${\operatorname {d} \!\Phi \over \operatorname {d} \!V}=2V^{T}P-2K^{T}A=0$

转置并求解得

$V=P^{-1}A^{T}K=QA^{T}K$

式中 ${\underset {n\times r}{QA^{T}}}$ 包含 $n$ 个方程和 $r$ 个待解联系数，令其与函数模型组成方程组：

${\begin{cases}AV+W=0\\V=QA^{T}K\end{cases}}$

该方程组恰包含了 $n+r$ 个方程和待求量，方程组满秩且有唯一解，因此称其为条件平差的基础方程。

条件平差的法方程

将方程组的下半部分代入到上半部分，以消去方程组中的改正数 $V$：

$AQA^{T}K+W=0$

再令 $N=AQA^{T}$，将上式变形作

$NK+W=0$

称其为条件平差的法方程。式中的法方程系数阵 ${\underset {r\times r}{N}}$ 是一个满秩的对称矩阵，因此法方程有唯一解。

条件平差的求解过程

综上，条件平差的求解过程为：

1. 确立函数模型和随机模型，即确定测量值 ${\underset {n\times 1}{L}}$ 及其权阵 ${\underset {n\times n}{P}}$；
2. 组成条件方程，对函数模型进行线性化，得到系数矩阵 ${\underset {r\times n}{A}}$ 、常数项 ${\underset {r\times 1}{A_{0}}}$和闭合差 ${\underset {r\times 1}{W}}$；
3. 组成法方程并求解，得 ${\underset {r\times 1}{K}}=-N^{-1}W$；
4. 改正数的估值为

   ${\underset {n\times 1}{V}}=QA^{T}K$

5. 观测量的估计值为

   ${\underset {n\times 1}{\hat {L}}}=L+V=L+QA^{T}K$

间接平差方法

间接平差是以观测方程作为函数模型的平差方法，方程中的参数个数 $u$ 与必要观测数 $t$ 恰好相同，又称参数平差。

间接平差的基础方程

间接平差的函数模型为 ${\hat {L}}=\operatorname {F} ({\hat {X}})$，线性化后得 $V=B{\hat {x}}-l$，式中 ${\underset {n\times t}{B}}$ 包含 $n$ 个方程和 $t$ 个待解参数。又 $n>t$，函数模型无解。因此，需根据最小二乘准则 $V^{T}PV=\min$ 对函数模型添加方程并与函数模型联立。其中 ${\underset {n\times n}{P}}$ 是观测量的权阵，$D=\sigma _{0}^{2}Q=\sigma _{0}^{2}P^{-1}$ 是间接平差的随机模型。

因 $V$ 是 ${\hat {x}}$ 的函数且 $\operatorname {d} \!V/\operatorname {d} \!{\hat {x}}=B$，当 $V$ 满足最小二乘准则时应有

${\frac {\operatorname {d} \!\left(V^{T}PV\right)}{\operatorname {d} \!{\hat {x}}}}=2V^{T}P{\frac {\operatorname {d} \!V}{\operatorname {d} \!{\hat {x}}}}=2V^{T}PB=0$

转置得

$B^{T}PV=0$

式中 ${\underset {t\times n}{B^{T}P}}$ 包含 $t$ 个方程和 $n$ 个待解改正数，令其与函数模型组成方程组：

${\begin{cases}V=B{\hat {x}}-l\\B^{T}PV=0\end{cases}}$

该方程组恰包含了 $n+t$ 个方程和待求量，方程组满秩且有唯一解，因此称其为间接平差的基础方程。

间接平差的法方程

将方程组的上半部分代入到下半部分，以消去方程组中的改正数 $V$：

$B^{T}P(B{\hat {x}}-l)=B^{T}PB{\hat {x}}-B^{T}Pl=0$

再令 $N=B^{T}PB$，$W=B^{T}Pl$，将上式变形作

$N{\hat {x}}-W=0$

称其为间接平差的法方程。式中的法方程系数阵 ${\underset {t\times t}{N}}$ 是一个满秩的对称矩阵，因此法方程有唯一解。

间接平差的求解过程

综上，间接平差的求解过程为：

1. 确立函数模型和随机模型，即确定测量值 ${\underset {n\times 1}{L}}$ 及其权阵 ${\underset {n\times n}{P}}$，以及选定参数的初始值 ${\underset {t\times 1}{X^{0}}}$；
2. 组成误差方程，即对函数模型进行线性化，得到设计矩阵 ${\underset {n\times t}{B}}$ 及常数项 ${\underset {n\times 1}{d}}$，进而计算误差方程中的常数项 ${\underset {n\times 1}{l}}$；
3. 组成法方程并求解，得 ${\underset {t\times 1}{\hat {x}}}=N^{-1}W$；
4. 参数的估计值为

   ${\underset {t\times 1}{\hat {X}}}=X^{0}+{\hat {X}}$

5. 观测量的估计值为

   ${\underset {n\times 1}{\hat {L}}}=L+V=L+B{\hat {x}}-l$

   或

   ${\underset {n\times 1}{\hat {L}}}=L^{0}+l=BX^{0}+d+l$

概括平差方法

概括平差的函数模型

概括平差方法将条件平差使用的条件方程与间接平差使用的观测方程统一为一般条件方程 $\operatorname {F} ({\hat {L}},{\hat {X}})=0$，将其与表达参数之间限制关系的限制条件方程 $\operatorname {\Phi } ({\hat {X}})=0$ 进行联立，以联立后的方程组

${\begin{cases}\operatorname {F} ({\hat {L}},{\hat {X}})=0\\\operatorname {\Phi } ({\hat {X}})=0\end{cases}}$

作为概括平差的函数模型，又称为附有限制条件的条件平差函数模型。

在该模型中，观测值的个数为 $n$，其中独立观测值即多余观测量的个数为 $r$，可组成 $r$ 个一般条件方程；所选参数的个数为 $u$，并组成 $s$ 个限制条件方程；因此，独立参数的个数为 $u-s$，由所选参数而带入的一般条件方程的个数亦为 $u-s$；综上，在概括平差的函数模型中，形式为 $\operatorname {F} ({\hat {L}},{\hat {X}})=0$ 的一般条件方程的个数为 $c=r+u-s$，而形式为 $\operatorname {\Phi } ({\hat {X}})=0$ 的限制条件方程的个数为 $s$，几个个数之间应满足 $c+s=r+u$ 的关系。

线性化

对概括平差的函数模型进行线性化，得到方程组

${\begin{cases}AV+B{\hat {x}}+W=0\\C{\hat {x}}+W_{x}=0\end{cases}}$

式中， ${\underset {c\times n}{A}}$ 为线性组合矩阵，是行满秩矩阵；${\underset {c\times u}{B}}$ 和 ${\underset {s\times u}{C}}$ 为设计矩阵，分别是列满秩矩阵和行满秩矩阵；${\underset {n\times 1}{V}}$ 和 ${\underset {u\times 1}{\hat {x}}}$ 分别是观测量改正向量和参数改正向量；${\underset {c\times 1}{W}}=F\left(L,X^{0}\right)$ 和 ${\underset {s\times 1}{W_{x}}}=\Phi \left(X^{0}\right)$ 是常数项。

基础方程

在线性化后的概括平差函数模型中，有 $c+s$ 个方程和 $n+u$ 个待求改正数。又 $c+s<n+u$，因此函数模型没有唯一解，需要加入最小二乘准则 $V^{T}PV=\min$ ，按条件极值法组成拉格朗日函数

$\Phi =V^{T}PV-2K^{T}(AV+B{\hat {x}}+W)-2K_{x}^{T}(C{\hat {x}}+W_{x})$

式中 ${\underset {c\times 1}{K}}$ 和 ${\underset {u\times 1}{K_{x}}}$ 为各条件方程的联系数向量。

对 $\Phi$ 求变量的偏导数，在条件极值的情况下应有

${\begin{cases}\displaystyle {\frac {\Phi }{V}}=2V^{T}P-2K^{T}A=0\\\displaystyle {\frac {\Phi }{\hat {x}}}=-2K^{T}B-2K_{x}^{T}C=0\end{cases}}$

转置得

${\begin{cases}PV-A^{T}K=0\\B^{T}K+C^{T}K_{x}=0\end{cases}}$

式中有 $c+s$ 个联系数和 $n+u$ 个方程，令其与函数模型组成方程组：

${\begin{cases}AV+B{\hat {x}}+W=0\\C{\hat {x}}+W_{x}=0\\PV-A^{T}K=0\\B^{T}K+C^{T}K_{x}=0\end{cases}}$

该方程组恰包含了 $c+s+u+t$ 个方程和待求量，方程组满秩且有唯一解，因此称其为概括平差模型的基础方程。

求解过程

由概括平差模型的基础方程的第三式，先将观测量改正数 $V$ 表示为联系数 $K$ 的函数：

$V=P^{-1}A^{T}K=QA^{T}K$

回代入基础方程的第一式，得

$AQA^{T}K+B{\hat {x}}+W=0$

令 $N_{aa}=AQA^{T}$，解得联系数 $K$ 为

$K=-(AQA^{T})^{-1}(B{\hat {x}}+W)=-N_{aa}^{-1}(B{\hat {x}}+W)$

回代入基础方程的第四式，得

$B^{T}N_{aa}^{-1}B-C^{T}K_{x}+B^{T}N_{aa}^{-1}W=0$

令 $N_{bb}=B^{T}N_{aa}^{-1}B$，$W_{e}=B^{T}N_{aa}^{-1}W$，上式可变形为

$N_{bb}{\hat {x}}-C^{T}K_{x}+W_{e}=0$

解得参数改正数 ${\hat {x}}$ 为

${\hat {x}}=N_{bb}^{-1}(C^{T}K_{x}-W_{e})$

回代入基础方程的第二式，得

$CN_{bb}^{-1}C^{T}K_{x}-CN_{bb}^{-1}W_{e}+W_{x}=0$

令 $N_{cc}=CN_{bb}^{-1}C^{T}$，上式可变形

$N_{cc}K_{x}-CN_{bb}^{-1}W_{e}+W_{x}=0$

解得联系数 $K_{x}$ 为

$K_{x}=-N_{cc}^{-1}(W_{x}-CN_{bb}^{-1}W_{e})$

综上，解得参数改正数 ${\hat {x}}$ 和观测量改正数 $V$ 分别为

${\hat {x}}=-(N_{bb}^{-1}-N_{bb}^{-1}C^{T}N_{cc}^{-1}CN_{bb}^{-1})W_{e}-N_{bb}^{-1}C^{T}N_{cc}^{-1}W_{x}$

$V=-QA^{T}N_{aa}^{-1}(W+B{\hat {x}})$

附有参数的条件平差

附有参数的条件平差是以包含参数的观测方程作为函数模型的平差方法：

$\operatorname {F} ({\hat {L}},{\hat {X}})=0$

附有限制条件的间接平差

附有限制条件的间接平差是函数模型中除了观测方程以外，另设有约束参数的条件方程的平差方法：

${\begin{cases}{\hat {L}}=\operatorname {F} ({\hat {X}})\\\operatorname {\Phi } ({\hat {X}})=0\end{cases}}$

广义平差方法

经典的测量平差以最小二乘准则作为最优化准则，参与平差的各观测值之间相互独立且仅含有偶然误差，平差过程中的法方程组是满秩且有唯一解的的线性方程组。根据平差时选取的函数模型的不同，经典的测量平差方法可分为条件平差、间接平差、附有参数的条件平差和附有限制条件的间接平差四类。

相关条目

• 测量精度
• 测量误差
• 导线测量
• 估计理论
• 卡尔曼滤波
• 水准测量
• 最小二乘法

外部链接

• 条件平差
• 附有参数的条件平差
• 间接平差
• 附有限制条件的间接平差
• 概括平差

拓展阅读

讲义

• 白巨川．測量平差概論．國立成功大學，2016．

• Kyle Snow. Notes on Adjustment Computations. The Ohio State University, 2017.

书籍

• 崔希璋．广义测量平差（第二版）．武汉：武汉大学出版社，2009．ISBN 978-7-307-07268-8．
• 王新洲．高等测量平差．北京：测绘出版社，2006．ISBN 978-7-503-01396-6．
• 武汉大学测绘学院测量平差学科组．误差理论与测量平差基础（第三版）．武汉：武汉大学出版社，2014．ISBN 978-7-307-12922-1．
• 吳究．測量平差．國立中央大學出版中心，2012．ISBN 978-986-87944-7-4．
• Fan, Huaan. Theory of Errors and Least Squares Adjustment. Royal Institute of Technology (KTH), Division of Geodesy and Geoinformatics, Stockholm, Sweden, 2010, ISBN 91-7170-200-8.
• Ghilani, Charles D. Adjustment Computations: Spatial Data Analysis. John Wiley & Sons, 2017. ISBN 978-1-119-38598-1.
• Teunissen, Peter. Adjustment theory: an introduction. VSSD Press, 2000, ISBN 978-9-040-71974-5.
• Thomas Wallace Wright.The Adjustment of Observations by the Method of Least Squares: With Applications to Geodetic Work. D. Van Nostrand Company, 1906.